泊松个数的几何票据发生器

设 $N\sim\mathrm{Poisson}(3)$。在给定 $N$ 的条件下，定义 \[ S=\sum_{i=1}^N B_i, \] 其中每个 $B_i$ 在 $\{0,1,2,\dots\}$ 上服从参数为 $p=1/4$ 的几何分布，即 $P(B_i=k)=\frac14(\frac34)^k$。求 $S$ 的 PGF，并计算 $E[S]$。