指数跳幅的复合泊松和

理赔笔数满足 $N\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$。理赔金额 $X_1,X_2,\dots$ 相互独立同分布，且服从参数为 $\beta$ 的指数分布，并与 $N$ 独立。记 $S=\sum_{i=1}^N X_i$。求 $S$ 的 MGF，并计算 $E[S]$ 和 $\mathrm{Var}(S)$。