几何个指数阶段之和

一个任务会经历几何个阶段：$N$ 的取值集合为 $\{1,2,\dots\}$，且 $P(N=n)=p(1-p)^{n-1}$。每个阶段的持续时间独立同分布，服从参数为 $\beta$ 的指数分布，并与 $N$ 独立。记 $T=\sum_{i=1}^N X_i$。用 MGF 判断 $T$ 的分布。