从 MGF 识别平移后的泊松分布

某随机变量的 MGF 为 \[ M_X(t)=\exp\!\bigl(2t+3(e^t-1)\bigr). \] 识别 $X$ 的分布，并计算 $E[X]$ 和 $\mathrm{Var}(X)$。