高斯跳幅的复合泊松和

设 $N\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$，并且 $Y_1,Y_2,\dots$ 相互独立同分布，服从 $N(\mu,\sigma^2)$，且与 $N$ 独立。对 \[ S=\sum_{k=1}^N Y_k, \] 求 $S$ 的 MGF，并计算 $E[S]$ 和 $\mathrm{Var}(S)$。