指数样本均值的 MGF

设 $X_1,\dots,X_n$ 为相互独立同分布的指数随机变量，率参数为 $\beta$，并记 \[ \bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i. \] 求 $\bar X_n$ 的 MGF，并由此恢复 $E[\bar X_n]$ 和 $\mathrm{Var}(\bar X_n)$。