带批量大小的复合泊松订单流

成交笔数满足 $N\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$。每笔成交对应一个批量大小 $B$，其取值为 $0,1,2$，概率分别为 $1/2,1/3,1/6$，并且不同成交之间以及与 $N$ 之间都相互独立。记 \[ S=\sum_{k=1}^N B_k. \] 求 $S$ 的 MGF，并计算 $E[S]$ 和 $\mathrm{Var}(S)$。