共享速率的泊松-指数和：双层塔与 Eve 定律

设 $Z \sim \operatorname{Uniform}(1,3)$，给定 $Z$ 时 $N \mid Z \sim \operatorname{Poisson}(Z)$，给定 $(N,Z)$ 时 $X_1,\ldots,X_N$ 独立同分布于 $\operatorname{Exp}(Z)$（速率参数）。令 $S=X_1+\cdots+X_N$。利用迭代塔性质和 Eve 定律求 $E[S]$ 和 $\operatorname{Var}(S)$。