两个独立指数变量之比的分布

设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\operatorname{Exp}(1)$ 随机变量，令 $R = X/Y$。

(a) 利用变换 $(R,S) = (X/Y,\,Y)$，通过雅可比行列式求 $f_{R,S}$，再对 $S$ 积分得到 $R$ 的 PDF。

(b) 将 $f_R$ 识别为某个已知分布，并利用对称性论证验证 $P(R \le 1)$。