Box-Muller 变换：从均匀到独立正态

设 $U_1, U_2$ 为独立的 $\operatorname{Uniform}(0,1)$ 随机变量，定义 $$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2),\quad Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2).$$

(a) 计算从 $(Z_1,Z_2)$ 到 $(U_1,U_2)$ 逆变换的雅可比行列式。

(b) 证明 $Z_1$ 和 $Z_2$ 是独立的 $N(0,1)$ 随机变量。