独立 Gamma 变量之比服从 Beta 分布

设 $X \sim \operatorname{Gamma}(\alpha,1)$，$Y \sim \operatorname{Gamma}(\beta,1)$ 独立。利用变换 $(W,S) = (X/(X+Y),\,X+Y)$：

(a) 计算逆变换的雅可比行列式。

(b) 推导联合密度 $f_{W,S}$ 并对 $S$ 积分，证明 $W \sim \operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$。

(c) 证明 $W$ 与 $S$ 独立。