正态的指数：对数正态分布

设 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$，$Y = e^X$。

(a) 利用换元公式推导 $Y$ 的 PDF。

(b) 利用正态 MGF 计算 $E[Y]$ 和 $\operatorname{Var}(Y)$。

(c) 证明 $Y$ 的中位数为 $e^{\mu}$，并解释为何 $\sigma>0$ 时 $E[Y]>$ 中位数。