419概率困难multi partmedium

Conditional Distribution of the Minimum Given the Maximum

题目

Let $X_1, \ldots, X_n$ be iid $\operatorname{Uniform}(0,1)$ with $n \ge 3$ . Let $X_{(1)}$ and $X_{(n)}$ denote the minimum and maximum.

分步问题

分步 a

Derive the conditional PDF $f_{X_{(1)} | X_{(n)}}(x \mid y)$ for $0 < x < y$ .

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分步 b

Using part (a), compute $E[X_{(1)} \mid X_{(n)} = y]$ .

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