几何次几何试验

赌徒进行若干轮游戏。每轮中抛一枚 $P(\text{正面}) = p$ 的硬币直到出现正面，该轮抛掷次数为 $\operatorname{Geom}(p)$。轮数本身为 $\operatorname{Geom}(q)$（与抛硬币独立）。设 $S$ 为总抛掷次数。利用几何分布的无记忆性，证明 $S \sim \operatorname{Geom}(pq)$ 并求 $E[S]$。