无记忆性的刻画与剩余寿命悖论

(a) 设 $X$ 为连续正随机变量，满足 $P(X > s+t \mid X > s) = P(X>t)$。证明 $X$ 必为指数分布。

(b) 灯泡寿命 $L$ 的 CDF 为 $F(t) = 1 - \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-3t}$。你在随机时刻到达观察正在使用的灯泡，设 $R$ 为其剩余寿命。证明 $E[R] > E[L]$ 并计算两个值。解释为何无记忆性的缺失导致此悖论。