几何分布无记忆性的唯一性

(a) 设正整数随机变量 $N$ 满足 $P(N>m+n \mid N>m)=P(N>n)$。证明 $N$ 必为几何分布。

(b) 对 $N \sim \operatorname{Geom}(p)$，用无记忆性求 $E[N^2 \mid N>k]$，验证 $\operatorname{Var}(N \mid N>k) = \operatorname{Var}(N)$。