随机收益几何均值的大数定律与中心极限定理

设 $X_1, X_2, \ldots$ 为 i.i.d.，$P(X_i=1) = P(X_i=0) = 1/2$。定义 $$Y_n = \left(\prod_{i=1}^{n}(1+X_i)\right)^{1/n}.$$

(a) 求 $\lim_{n\to\infty} Y_n$（几乎必然）。

(b) 对 $n=200$，用 CLT 近似 $P(Y_{200} > 1.45)$。

可使用 $\ln 2 \approx 0.6931$，$\Phi(1.02) \approx 0.8461$。