题目
在单位正方形 [0,1]2[0,1]^2[0,1]2 上均匀独立抽取 n=10,000n = 10{,}000n=10,000 个点 (Xi,Yi)(X_i, Y_i)(Xi,Yi)。定义 Zi=1(Xi2+Yi2≤1)Z_i = \mathbf{1}(X_i^2 + Y_i^2 \le 1)Zi=1(Xi2+Yi2≤1)，π^=4Zˉ\hat{\pi} = 4\bar{Z}π^=4Zˉ。
(a) 解释为什么 E[π^]=πE[\hat{\pi}] = \piE[π^]=π 以及 π^→π\hat{\pi} \to \piπ^→π a.s.。
(b) 用 CLT，对 Zˉ=0.7854\bar{Z} = 0.7854Zˉ=0.7854 给出 π\piπ 的近似 95%95\%95% 置信区间。
可使用 Φ(1.96)≈0.975\Phi(1.96) \approx 0.975Φ(1.96)≈0.975，π≈3.1416\pi \approx 3.1416π≈3.1416。
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