均匀随机变量和的 Berry-Esseen 界

设 $U_1, \ldots, U_n$ 为 i.i.d. $\mathrm{Uniform}(0,1)$，$S_n = \sum U_i$。Berry-Esseen 定理给出 $$\sup_x |P((S_n - n/2)/(\sigma\sqrt{n}) \le x) - \Phi(x)| \le C\rho/(\sigma^3\sqrt{n}),$$ 其中 $C \le 0.4748$。

(a) 精确计算 $\rho = E[|U_i - 1/2|^3]$。

(b) 求 $n=50$ 时的 Berry-Esseen 界。

(c) $n$ 至少多大才能使界低于 $0.01$？