随机乘数几何平均的 LLN 和 CLT

投资每年乘以随机因子 $X_i$（i.i.d.），$P(X_i=2)=P(X_i=4)=1/2$。$n$ 年后年化增长因子为几何平均 $G_n = (\prod X_i)^{1/n}$。

(a) 求 $\lim_{n\to\infty} G_n$（a.s.）。

(b) $n=100$ 时，用 CLT 近似 $P(G_{100} > 3)$。

可使用 $\ln 2 \approx 0.6931$，$\ln 3 \approx 1.0986$，$\Phi(1.70) \approx 0.9554$。