样本中位数的渐近分布

设 $X_1, \ldots, X_n$ 为 i.i.d. $\mathrm{Uniform}(0,1)$，$M_n$ 为样本中位数。渐近理论给出 $\sqrt{n}(M_n - m) \xrightarrow{d} N(0, 1/(4[f(m)]^2))$。

(a) 对 $\mathrm{Uniform}(0,1)$，求 $m$、$f(m)$ 及渐近方差。

(b) $n=400$ 时，近似 $P(M_{400} > 0.54)$。

可使用 $\Phi(1.60) \approx 0.9452$。