Slutsky 定理与估计方差下的 CLT

设 $X_1, \ldots, X_n$ 为 i.i.d.（均值 $\mu$，方差 $\sigma^2$），$S_n^2$ 为样本方差，$T_n = \sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)/S_n$。

(a) 用 LLN 和 Slutsky 定理证明 $T_n \xrightarrow{d} N(0,1)$。

(b) $n=100$，$\bar{X}=12.5$，$S=3.0$，$\mu_0=12$。近似 $P(\bar{X}>12.5)$。

可使用 $\Phi(1.67) \approx 0.9525$。