通过补偿鞅求击中时间方差

马尔可夫链在 $\{0,1,2,3\}$ 上，从 $i$（$0<i<3$）以概率 $2/3$ 跳至 $i+1$，$1/3$ 跳至 $i-1$。$0$ 和 $3$ 吸收。令 $T = \inf\{n: X_n \in \{0,3\}\}$。 (a) 用鞅 $M_n = X_{n\wedge T} - (p-q)(n\wedge T)$ 和 OST 求 $E[T \mid X_0=2]$。 (b) 用鞅 $N_n = M_n^2 - 4pq(n\wedge T)$ 求 $\mathrm{Var}(T \mid X_0=2)$。 (c) 用一步分析验证 $E[T]$。