用概率母函数求破产概率

在 $\{0,\ldots,N\}$ 上的随机游走，$0$ 和 $N$ 为吸收壁。设 $G_k(s)=E[s^\tau|X_0=k]$ 为吸收时间的母函数。 (a) 导出 $G_k(s)$ 的递推关系。 (b) 对 $N=4$, $k=2$, $p=q=1/2$，求 $G_2(s)$，并计算 $E[\tau]$ 和 $\text{Var}(\tau)$。