三维超立方体上的击中时间

随机游走在三维超立方体 $Q_3$ 上进行：8 个顶点为长度 3 的二进制串，两顶点相邻当且仅当恰好一个坐标不同。每步等概率选一个坐标翻转。从 $000$ 出发，求首次到达 $111$ 的期望步数。