环图上惰性游走的谱雙与混合时间

环图 $C_n$ 上的惰性随机游走：每步以 $1/2$ 概率停留，各以 $1/4$ 概率移向两个邻居。转移矩阵特征值为 $\lambda_k=\frac{1}{2}(1+\cos(2\pi k/n))$。

(a) 求谱雙 $\gamma=1-\lambda_1$。 (b) 利用 $t_{\text{mix}}\asymp 1/\gamma$ 确定 $n\to\infty$ 时混合时间的阶。