除自身以外数组的乘积

给一个整数数组 nums，长度 N（2 ≤ N ≤ 10⁴，每个 nums[i] ∈ [-100, 100]）。返回一个等长数组 result，使得 result[i] 等于 nums 中**除 nums[i] 自身外所有元素的乘积。这就是经典的 LeetCode 238：禁止用除法，算法必须能正确处理含 0（包括多个 0）的情况，目标复杂度是时间 O(n)、额外空间 O(1)**（输出数组不计入空间预算）。

干净的做法是对 nums 做两次线性扫描。第一遍（从左到右）把 out[i] 填成「前缀积」nums[0] * nums[1] * ... * nums[i-1]——也就是位置 i 严格左边那部分的乘积。第二遍（从右到左）维护一个标量 right 从 1 开始，每一步先做 out[i] *= right 再 right *= nums[i]，最终 out[i] = (前缀积) * (后缀积) = 除自己以外所有元素的乘积。不用除法，除输出外不开新数组，所有 0 分布走同一条代码路径。

Examples

solution([1, 2, 3, 4]) 返回 [24, 12, 8, 6]。左扫把前缀积 [1, 1, 2, 6] 写进 out。右扫倒着走：i=3：out[3] = 6 * 1 = 6，right = 4；i=2：out[2] = 2 * 4 = 8，right = 12；i=1：out[1] = 1 * 12 = 12，right = 24；i=0：out[0] = 1 * 24 = 24。最终答案 [24, 12, 8, 6]。

solution([1, 2, 0, 4]) 返回 [0, 0, 8, 0]。位置 2 的那个 0 让 i > 2 的前缀积都为 0、i < 2 的后缀积也都为 0，所以除位置 2 外每个位置都被乘进了一个 0。位置 2 自己排除掉了那个 0，剩下 1 * 2 * 4 = 8。这正是除法解法会崩的情形。

solution([0, 0, 3]) 返回 [0, 0, 0]。数组里有两个 0，无论在哪个位置算「除自己外的乘积」，剩下的元素里都至少还有一个 0，所以输出全是 0。两遍扫法不需要任何「数 0」的分支判断。

签名见 stubs/stub.py。

Practical context

对一条流计算「除掉某一项后的聚合量」是时间序列分析与在线统计里的常见形状。这道题的形态直接出现在累计事件似然比里：给定每期的似然比 L_t（在假设 A 下相对假设 B 的密度比，恒正），「留一」乘积 prod(L) / L_t 表示在剔除第 t 期观测后，其余样本给出的累计似然——它是 jackknife 重采样、HMM 发射概率的留一交叉验证、以及序贯概率比检验里影响函数诊断的核心量。一旦某个 L_t 恰好为 0（一次制度切换、一次止损出场、一次截尾观测），/L_t 就崩了；前缀/后缀分解 prefix_t * suffix_t 不受影响，依然能在 O(n) 内一次性给出每个位置的留一乘积。同样的套路可以推广到留一求和（前缀和 + 后缀和，线性时间）、留一最大/最小（前缀 max / 后缀 max）、以及数值线性代数里的留一矩阵乘积。把这道题的标量乘积版本的「前缀+后缀双扫」吃透，思路可以直接迁移到区间最值查询、不上线段树的区间聚合、以及协方差估计里「全对去对角」这种模式。