CRR 二叉树美式看跌期权定价

基于 Cox-Ross-Rubinstein 二叉树的美式看跌期权，是 quant 桌上「逐节点决定是行权还是继续持有」的标准练习。和欧式看跌不同，持有人可以在任意节点行权，所以单纯对贴现期望连续价值做倒推是错的——每个非终端节点都必须比较 K - S_node 这个内在 payoff 与贴现的连续价值，取较大者。由此自然涌现出的早行权边界，正是 Black-Scholes 不能给出美式期权解析解的根本原因。

请实现 solution(S, K, r, sigma, N_steps) -> float：在到期时间 T = 1.0 上构建 N_steps 步的 CRR 二叉树，对每个非终端节点做带早行权检查的倒推，最终返回根节点现值（单个 float）。

树的机制。 取 dt = 1.0 / N_steps。上、下行因子为 u = exp(sigma * sqrt(dt)) 与 d = 1 / u；每期贴现 disc = exp(-r * dt)；风险中性上行概率 p = (exp(r * dt) - d) / (u - d)。注意 r 与 sigma 都是「每期」值（不是年化），所以除了 dt 以外没有额外的时间缩放。这棵树是重组的：第 n 步有 n + 1 个不同节点，沿 i 次上行 + n - i 次下行到达的节点价格为 S * u**i * d**(n - i)。终端层（n = N_steps）用看跌 payoff 初始化：V[i] = max(K - S * u**i * d**(N_steps - i), 0)，然后向根节点倒推。

带早行权检查的倒推。 对每个非终端步 n（从 N_steps - 1 倒到 0）和每个 i ∈ {0, ..., n}，计算

$$V_{n,i} \;=\; \max\Big( \underbrace{\max(K - S\,u^i d^{n-i},\, 0)}_{\text{内在价值}}, \; \underbrace{\,\mathrm{disc}\,\bigl(p\, V_{n+1,i+1} + (1-p)\, V_{n+1,i}\bigr)}_{\text{连续价值}} \Big).$$

返回根节点 V[0] 的现值（单个 float）。两种写法都行：递归 + (n, i) 上的 memoization；或迭代式自底向上，用一个长度为 N_steps + 1 的数组原地覆盖。两者都是 O(N_steps**2) 时间、O(N_steps) 空间。

例

solution(100.0, 100.0, 0.05, 0.20, 50) 返回 6.073727985724901：教科书级 ATM 美式看跌，每期 r=5%、每期 sigma=20%、CRR 五十步；早行权边界把价格抬到了对应欧式看跌价 5.5336 之上。注意 r 与 sigma 都是每期值——直接喂年化值会让结果按 N_steps 系数偏掉。

实践背景

只要 Black-Scholes 不够用——美式期权、含分红的标的、可赎回债券、做有限差分的对照基准——CRR 倒推就是 quant 桌的第一道防线。这个套路（叶子上放终端 payoff，每个节点取「内在价值与贴现连续价值的较大者」）几乎不用改就能推广到 Bermudan 行权时点表、Chooser/Shout 等奇异早行权规则、以及三叉/多叉树。生产级实现会再带一份多余 payoff 数组用于双向追踪、再加上对早行权边界的记录，但 O(N2) 的骨架与你这里要写的循环长得完全一样**。