Christoffersen 条件覆盖性 LR_cc 联合统计量：VaR 回溯检验

实现 solution(exceedance_indicator: list[int], alpha: float) -> float。某风险台每日 VaR 回溯检验看板把这一例程与 Kupiec POF（无条件覆盖性 LR_uc）、Christoffersen 独立性（LR_ind）并列运行，作为联合条件覆盖性检验。给定长度 T 的 0/1 指示序列（第 i 个元素为 1 当且仅当第 i 天发生 VaR 突破）与 VaR 置信度 alpha，返回 Christoffersen (1998) 条件覆盖性似然比统计量 LR_cc。在联合零假设下（无条件率正确且突破独立），LR_cc 渐近服从 chi-square(2)；当 LR_cc > 5.99 时按 95% 置信度拒绝模型。

闭式即可加分解

LR_cc = LR_uc + LR_ind

两个分量精确复用各自姊妹题的公式：

N = sum(exceedance_indicator); T = len(exceedance_indicator);
p = 1 - alpha; q = N / T

LR_uc = 2 * [ N * ln(q / p) + (T - N) * ln((1 - q) / (1 - p)) ]      # Kupiec POF

n00, n01, n10, n11 = 连续配对（i ∈ 1..T-1）的转移计数
p01 = n01 / (n00 + n01); p11 = n11 / (n10 + n11)
p_combined = (n01 + n11) / (n00 + n01 + n10 + n11)

LR_ind = 2 * [ n00*ln(1 - p01) + n01*ln(p01)
             + n10*ln(1 - p11) + n11*ln(p11)
             - (n00 + n10)*ln(1 - p_combined)
             - (n01 + n11)*ln(p_combined) ]                          # Christoffersen-Ind

约定 0 * ln(0) := 0（极限）适用于任何乘子为 0 的对数项。实现是 O(T) 单遍同时计 N 与四个转移计数；统计量计算为常数时间。

算例

solution([0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0], 0.99) 返回 10.143083742865386。逐步走：

• N = 2、T = 8、p = 0.01、q = 0.25。Kupiec：LR_uc = 2 * [2 * ln(25) + 6 * ln(0.75 / 0.99)] 约 9.5439。
• 配对计数：n00 = 4、n01 = 1、n10 = 1、n11 = 1。条件 MLE：p01 = 0.2、p11 = 0.5、p_combined = 2/7。Christoffersen-Ind：LR_ind = 2 * [4*ln(0.8) + 1*ln(0.2) + 1*ln(0.5) + 1*ln(0.5) - 5*ln(5/7) - 2*ln(2/7)] 约 0.5992。
• 联合：LR_cc = LR_uc + LR_ind 约 10.143——超过 chi-square(2) 95% 临界值 5.99。模型被拒绝，主要由 rate 分量驱动（Kupiec 占 9.54 / 10.14 约 94%）。

四个易错点

第一，可加性。LR_cc = LR_uc + LR_ind，不是乘积、平均或最大值。Wilks 分解定理：约束相互独立的 2 d.f. 联合 LR 统计量等于两个 1 d.f. LR 统计量之和。乘起来或平均得到的数在零假设下不收敛到 chi-square(2)，破坏看板阈值标定（LR_cc > 5.99 不再代表"95% 拒绝"）。交替序列 [0,1,0,1,0,1,0,1] 配 alpha = 0.5 把这一点说清楚：LR_uc = 0，LR_ind 约 9.56，正确的 LR_cc 约 9.56（求和），不是约 0（乘积），也不是约 4.78（平均）。

第二，NaN 传播。若 LR_ind 为 NaN（稀疏哨兵：某 from-state 流出为 0——覆盖全零、全一、仅末位为 1），规约要求 LR_cc = NaN，即便 LR_uc 良定义。只返回良定义的分量会让有限的统计量泄漏到看板，而此时 chi-square(2) 解释已不再适用，风险台会误以为检验有效。反向同理 LR_uc 为 NaN 时（在合约 T >= 2 下不可达，因 LR_uc 在 T >= 1 时即良定义）。

第三，复用相同惯例。0 * ln(0) := 0、自然对数（math.log 而非 math.log10）、+2 系数与各姊妹一致。若把同一数据丢进 Kupiec 姊妹得到 LR_uc、丢进 Christoffersen-Ind 姊妹得到 LR_ind，本题必须返回二者按位（浮点 abs_tol = 1e-9）相等的和。在本题混对数底或系数会让看板的三个指标互相不一致。

第四，不要重复扣除。LR_uc 与 LR_ind 用同一突破序列但计算不同的统计量（速率 vs. 独立性）。按 Christoffersen 定理它们是联合 LR 的独立分量；不要扣除任何"共享信息"。试图聪明地扣除一个重叠项的写法计算的是另一个（毫无意义的）统计量。参考实现就是单遍同时跑两个公式再求和——实现就这么短。

哨兵与边界

T < 2：连续配对不足（LR_ind 未定义）、单元素窗口（LR_uc 仍可计算但联合中无意义）。返回 float('nan')。覆盖空列表与单元素列表。

(n00 + n01) == 0 或 (n10 + n11) == 0：至少一个 from-state 没有任何观测到的流出，其条件概率为 0/0、LR_ind 为 NaN。按 NaN 传播 LR_cc 也为 NaN。覆盖全零、全一、仅末位为 1（[0,...,0,1]）以及最小 T 输入 [0,0]、[1,1]、[0,1]、[1,0]。非对称输入 [1, 0, ..., 0]（长度 >= 3）不触发哨兵：state 1 恰好贡献一个 (1,0) 转移，两个 from-state 都有流出，LR_ind 严格为 0，LR_cc 退化为良定义的 LR_uc。

当 LR_uc = 0（速率匹配：q == p）且 LR_ind = 0（独立性塌缩：p01 == p11 == p_combined）时，联合统计量严格为 0——模型同时通过两个分量检验。在 [0,0,1,1,0] 配 alpha = 0.51 上验证：q = 0.4（与 p = 0.49 接近），n00 = n01 = n10 = n11 = 1（LR_ind = 0），故 LR_cc = LR_uc + 0 约 0.163。

当边际率近匹配但突破重度聚集时，联合检验仍在 LR_ind 分量上拒绝。[0,1,0,1,...] 交替序列配 alpha=0.51 是教科书例：q 约 0.5 实质匹配 p=0.49，Kupiec 实质通过，但 LR_ind 抓到完全反聚集，LR_cc 约 LR_ind 约 9.56——远超 5.99。严格 q == p 需要 alpha 等于观测率，但约束 alpha > 0.5 排除了 q=0.5 的情况；最接近合法的自检为 alpha 略高于 0.5，留下极小的 LR_uc 但不影响联合结论。

实践背景

Christoffersen (1998) 证明：联合假设"VaR 模型条件覆盖性正确"分解为两个独立分量——(1) 无条件率正确（Kupiec POF）、(2) 突破独立（无聚集）。该联合假设的似然比统计量按可加分解为 LR_cc = LR_uc + LR_ind，渐近服从 chi-square(2)——即两个独立 chi-square(1) 之和。

风险台每日 VaR 回溯检验看板将 LR_cc 与各自的 LR_uc、LR_ind 并列列出，用于诊断式解释：联合检验拒绝时，分析师看分解归因失败模式。LR_uc 占比高 → 模型对率有误（重新标定 alpha）。LR_ind 占比高 → 速率没问题但突破在时间上聚集（重审波动率预测模型——i.i.d. 创新被违反）。两者也可同时触发；纯速率失败看 250 天里 9 个分散单点、alpha=0.99 用例，纯聚集失败看 100 天里 10 连段、alpha=0.9 用例。

本题是题库的联合统计量——区别于：

• coding-basel-var-traffic-light-zone-and-multiplier——分类红绿灯分区，无统计检验。
• coding-var-backtest-exceedance-cluster-count——描述性聚集计数，无 LR。
• coding-kupiec-pof-likelihood-ratio——仅无条件覆盖性分量。
• coding-christoffersen-independence-lr-test——仅独立性分量。

姊妹一致性：同一输入数据，经本题与两个分量姊妹计算，必有 coding-christoffersen-conditional-coverage-lr-cc(I, alpha) == coding-kupiec-pof-likelihood-ratio(sum(I), len(I), alpha) + coding-christoffersen-independence-lr-test(I)，浮点意义下成立（abs_tol = 1e-9 内）。