Christoffersen LR_ind 独立性统计量：VaR 回溯检验

实现 solution(exceedance_indicator: list[int]) -> float。某风险台每日 VaR 回溯检验看板把这一例程与 Kupiec POF（无条件覆盖性）检验并列运行，作为 Christoffersen 联合检验的条件覆盖性分量。给定长度 T 的 0/1 指示序列（第 i 个元素为 1 当且仅当第 i 天发生 VaR 突破），返回 Christoffersen (1998) 独立性似然比统计量 LR_ind。在 i.i.d. 突破的零假设下 LR_ind 渐近服从 chi-square(1)；当 LR_ind > 3.84 时按 95% 置信度拒绝 i.i.d. 假设。

闭式为

LR_ind = 2 * [ n00*ln(1 - p01) + n01*ln(p01)
             + n10*ln(1 - p11) + n11*ln(p11)
             - (n00 + n10)*ln(1 - p)
             - (n01 + n11)*ln(p) ]

其中四个转移计数对连续配对 i ∈ 1..T-1 求和：

• n00 = #{ I[i-1]==0 且 I[i]==0 }
• n01 = #{ I[i-1]==0 且 I[i]==1 }
• n10 = #{ I[i-1]==1 且 I[i]==0 }
• n11 = #{ I[i-1]==1 且 I[i]==1 }

无限制（一阶 Markov 链）MLE 为 p01 = n01 / (n00 + n01) 与 p11 = n11 / (n10 + n11)，受限（i.i.d. Bernoulli）MLE 为 p = (n01 + n11) / (n00 + n01 + n10 + n11)。约定 0 * ln(0) := 0（极限）适用于任何计数为 0 的项。

实现是 O(T) 单遍计数加 O(1) 统计量求值。

算例

solution([0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0]) 返回 0.5991612825719415。逐步走七个连续配对：位置 (1,2,3) 给 (0,0)；位置 4 给 (0,1)；位置 5 给 (1,1)；位置 6 给 (1,0)；位置 7 给 (0,0)。计数：n00=4、n01=1、n10=1、n11=1。条件 MLE：p01 = 1/(4+1) = 0.2、p11 = 1/(1+1) = 0.5。无条件 MLE：p = (1+1)/(4+1+1+1) = 2/7。LR_ind = 2 * [4*ln(0.8) + 1*ln(0.2) + 1*ln(0.5) + 1*ln(0.5) - 5*ln(5/7) - 2*ln(2/7)] ≈ 0.5992。远低于 3.84——尽管视觉上明显聚集，样本太小仍无法拒绝独立性。

五个易错点

第一，配对计数与边际计数。n00、n01、n10、n11 是连续配对的计数，不是 0 与 1 的总数。把 count_0 = sum(1 for x in arr if x==0) 塞进 Kupiec 风格闭式的写法复刻的是错的检验（无条件覆盖性，而非条件独立性）。LR_ind 的整个意义在于检测聚集——这是时序的属性，不是边际率的属性。

第二，条件概率方向。p01 = n01 / (n00 + n01)，分母是 FROM-state 的总流出（所有以 0 起头的配对）。写成 p01 = n01 / total_pairs 得到的是联合概率 P(I_{t-1}=0, I_t=1)，不是条件概率 P(I_t=1 | I_{t-1}=0)，所得统计量在零假设下不收敛到 chi-square(1)。

第三，**计数边界处的 0 * ln(0)**。当 n00、n01、n10、n11 中任一为 0 时，对应 count * ln(p) 项即 0 * ln(0)。Python 直接算 0 * math.log(0) = 0 * (-inf) = NaN 把结果污染；须在计数为 0 时分支跳过。在完全无突破（已是稀疏哨兵）时受限项 (n01 + n11) * ln(p) 也会撞同一陷阱；在每天都突破（同样稀疏哨兵）时 (n00 + n10) * ln(1-p) 也会。

第四，系数 2。与 Kupiec POF 姊妹同：LR_ind = 2 * [ ... ]。系数减半在正确阈值处无法越过 chi-square(1) 临界值；写 -2 * 产生负值并破坏 LR_ind >= 0 不变量。

第五，求和符号混合。公式为 + 无限制 - 受限：四个 n_ij * ln(...) 项（无条件 Markov MLE 下）取正号，两个 (n_._ + n_._) * ln(...) 项（受限 i.i.d. MLE 下）取负号。翻转任一子集得到的是另一个（无意义的）统计量。

哨兵与边界

T < 2：连续配对不足；返回 float('nan')。覆盖空列表与单元素列表。

(n00 + n01) == 0 或 (n10 + n11) == 0：至少一个 from-state 没有任何观测到的流出，其条件概率为 0/0。返回 float('nan')——数据过稀疏，无法检验独立性。这一分支同时覆盖全零（state 1 无流出）、全一（state 0 无流出）、仅末位为 1 的 [0,...,0,1]（state 1 无流出）。注意非对称情形 [1, 0, ..., 0]（长度 > 2）：state 1 恰好贡献一个 (1,0) 转移，故 n10 + n11 = 1 > 0，不触发稀疏哨兵；该输入下 p01 = p11 = p = 0，所有 count*ln(...) 项要么计数为 0、要么对数为 ln(1) = 0，统计量 LR_ind = 0.0——见对应边界测试。

当无限制 MLE 与受限 MLE 重合（p01 == p11 == p）时，统计量恰为 0——无证据反对独立性。在 [0,0,1,1,0] 上验证：n00=n01=n10=n11=1，三个概率都等于 0.5，LR_ind = 0.0。

实践背景

Christoffersen (1998) 提出 LR_ind 来与 Kupiec POF 检验互补，置于 VaR 回溯检验看板上。即便边际突破率与理论率匹配（Kupiec 通过），突破仍可能在时间上聚集——例如全年的突破额度集中在某个糟糕的一周，违反 VaR 内置的 i.i.d. 假设。LR_ind 通过检验 P(I_t=1 | I_{t-1}=0) ≠ P(I_t=1 | I_{t-1}=1) 来检测聚集。组合后的 Christoffersen Conditional Coverage 统计量 LR_cc = LR_uc + LR_ind（自由度 2 的 chi-square）是标准联合回溯检验。本题是题库的独立性检验姊妹——区别于 Basel 红绿灯分区分类器（分类、无统计检验）、突破集群计数例程（仅描述）、Kupiec POF 似然比（无条件覆盖性、边际率）。