Cross-Gamma 2D Shock-Grid PnL via Bilinear-Quadratic Taylor

某双因子压力测试引擎在二维冲击网格（如平行利率波动 × 隐含波动率位移）下对账本进行重估。引擎将每个头寸的灵敏度预聚合为五个账本级 greek：一阶 delta_x、delta_y，纯二阶 gamma_xx、gamma_yy，以及混合偏导 gamma_xy = d^2 P / (dx dy)，再扫过一系列网格点 (sx_k, sy_k) 得到 PnL 曲面。交叉 gamma 项是本题独有的"联合曲率"刻画：一个 delta 平、对角 gamma 与交叉 gamma 都为正的账本，在 (+rate, -vol) 冲击下亏损与在 (+rate, +vol) 下盈利同量级——而仅看主轴的 Taylor 曲面会完全错过这一不对称。

请实现 solution(delta_x, delta_y, gamma_xx, gamma_yy, gamma_xy, shocks_x, shocks_y)。shocks_x 与 shocks_y 是两个长度均为 K 的并行列表，定义 K 个网格点（第 k 个点是 (shocks_x[k], shocks_y[k])，并非笛卡尔积）。对每个网格点返回二阶 Taylor PnL

$$\text{pnl}[k] \;=\; \text{delta}_x \cdot s_x + \text{delta}_y \cdot s_y + \tfrac{1}{2} \, \text{gamma}_{xx} \, s_x^2 + \tfrac{1}{2} \, \text{gamma}_{yy} \, s_y^2 + \text{gamma}_{xy} \, s_x s_y$$

其中 $s_x = \text{shocks\_x}[k]$，$s_y = \text{shocks\_y}[k]$。

交叉 gamma 项前没有 $\tfrac{1}{2}$。原因：在完整 Hessian 二次型 $\tfrac{1}{2} \, \mathbf{s}^\top H \mathbf{s}$ 中，对称双重求和两次访问非对角对 $(x,y)$ 与 $(y,x)$，再由 Schwarz 定理得 $H_{xy} = H_{yx} = \text{gamma}_{xy}$，两次访问合并为 $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \text{gamma}_{xy} \cdot s_x s_y = \text{gamma}_{xy} \cdot s_x s_y$。两个对角项 gamma_xx、gamma_yy 各被访问一次，保留 $\tfrac{1}{2}$。如果在每个二阶项前都统一写 $\tfrac{1}{2}$，会把交叉 gamma 多扣掉一半，是这道题最常见的错。

PnL 是带符号的。gamma_xy 为正时，同号联合冲击 $(+a, +a)$ 让 PnL 增加，反号联合冲击 $(+a, -a)$ 让 PnL 减少，幅值都是 $\text{gamma}_{xy} \cdot a^2$。对角贡献 $\tfrac{1}{2}(\text{gamma}_{xx} + \text{gamma}_{yy}) a^2$ 在 $sy \to -sy$ 下不变，所以联合冲击的非对称性完全由交叉 gamma 项承担。纯 x 冲击（$s_y = 0$）与纯 y 冲击（$s_x = 0$）都会塌缩到该轴上的一维二阶 Taylor，交叉项消失。

Example

solution(2.0, -1.5, 0.04, 0.02, -0.01, [10.0, -10.0, 5.0, 0.0], [5.0, 5.0, -5.0, 10.0]) 返回 [14.25, -24.75, 18.5, -14.0]。以 k=0 的 (sx, sy) = (10, 5) 为例：线性部分 2*10 + (-1.5)*5 = 20 - 7.5 = 12.5；纯二次 0.5 * 0.04 * 100 + 0.5 * 0.02 * 25 = 2.0 + 0.25 = 2.25；交叉部分 (-0.01) * 10 * 5 = -0.5；合计 12.5 + 2.25 - 0.5 = 14.25。k=1 处 (-10, 5)，线性与交叉部分相对 k=0 都翻号，但 sx 的纯二次项不变：-20 - 7.5 + 2.0 + 0.25 + 0.5 = -24.75。k=2 处 (5, -5)，|sx|=|sy|=5 不变，但符号组合不同：10 + 7.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 = 18.5（注意交叉贡献 (-0.01) * 5 * (-5) = +0.25）。k=3 处 (0, 10)，整个 x 通道清零，结果 -1.5 * 10 + 0.5 * 0.02 * 100 = -15 + 1 = -14。

参见 stubs/stub.py 中的函数骨架。

Practical context

这一原语比线性 delta 情景网格、单因子对角 gamma Taylor 高一档，是捕捉联合曲率最便宜的双因子重估方法。一支波动率/利率自营桌每天跑 (利率 -200bp..+200bp) × (IV -20%..+20%) 的交叉网格，每个交点上用的就是这条公式，其中五个 greek 由头寸级 Greek 每日预聚合而来。交叉 gamma 项区分了"delta 平、在 (+rate, -vol) 下亏损"的账本与"delta 平、在 (+rate, +vol) 下亏损"的账本——对角 gamma 一样，仅 gamma_xy 符号相反。一个常见的偷工减料做法——丢掉交叉 gamma 只压主轴——会系统性低估任何利率-波动耦合显著的账本（多数利率-波动率相对价值桌都属于此类）的联合压力。测试套件特别瞄准的两个坑：(1) 在 gamma_xy 前加 1/2（数学上差因子 2——Hessian 双重访问非对角元），(2) 反对称冲击下交叉贡献正负号搞反。两类 bug 都能在仅对角的测试上侥幸通过，只在真正的二维冲击下暴露——这也是隐藏测试集大量集中在反对称与不对称网格点上的原因。

Edge cases

• K = 0：返回 []。
• 某网格点上 sx = sy = 0：无论 greek 取何值，PnL 贡献恰为 0.0。
• 纯 x 冲击（所有 k 都有 shocks_y[k] == 0）：塌缩为 x 上的一维二阶 Taylor，交叉 gamma 不显式出现。
• 纯 y 冲击（所有 k 都有 shocks_x[k] == 0）：塌缩为 y 上的一维二阶 Taylor，交叉 gamma 不显式出现。
• 反对称网格点（sx = +a, sy = -a）：交叉贡献为 -gamma_xy * a^2，专门用来抓在交叉项前误加 1/2 或把符号弄反的实现。