过滤历史模拟 VaR

过滤历史模拟（Filtered Historical Simulation, FHS）VaR 是非平稳波动率场景下，对等权重历史 VaR 的经典升级。它不再把每个历史观测都当成同等信息量，而是先把每笔历史 PnL 的*创新*——「相对于当时所处的波动率制度，这笔变动有多意外」——抽出来，再注入今天的波动率预测。结果是一个能响应当前波动率制度的 VaR：刚刚经历完波动率冲击的几天里，FHS 比朴素历史 VaR 读得更高（因为今天的制度更热）；波动率刚刚回落时，FHS 读得更低。请实现 solution(pnl_samples: list[float], volatility_estimates: list[float], current_vol: float, alpha: float) -> float。输入是按时间排序的 PnL 序列、与之等长的「当时适用的逐日波动率预测」（为正）、即将到来一期的波动率预测 current_vol（为正）、以及 VaR 置信度 alpha。返回 FHS VaR 作为*损失数值*——即阈值重缩放 PnL 的相反数：当所选的尾部观测是亏损时为正（一般情形），当所选的尾部观测本身是盈利时为负（例如 PnL 序列全为正、或 alpha 较小时）。在 N=0 哨兵以及 volatility_estimates[t] == 0 前置条件被违反时返回 float('nan')。

参考算法分三步。(1) 标准化：u[t] = pnl_samples[t] / volatility_estimates[t]，让每个历史观测变成一个波动率调整后的创新。(2) 重缩放：pnl_rescaled[t] = u[t] * current_vol，重新注入今天的波动率制度。代数上化简为每元素一次乘除：pnl_rescaled[t] = pnl_samples[t] * (current_vol / volatility_estimates[t])。(3) 在重缩放后的分布上跑标准历史 VaR 分位数：升序排序、取 k = max(1, ceil(N * (1 - alpha) - 1e-12))、返回 -pnl_rescaled_sorted[k - 1]。整体复杂度是标准化与重缩放 O(N)，加上排序 O(N log N)。

例

solution([-0.05, 0.02, 0.01, -0.03, -0.02], [0.04, 0.02, 0.02, 0.02, 0.02], 0.02, 0.8) 应返回 0.03。最差的那笔历史观测（-0.05）当时处于高波动率制度（vol = 0.04，是其他天的两倍）；标准化后创新 u = -0.05 / 0.04 = -1.25，再用 current_vol = 0.02 缩放得 -0.025。其余天的 vol = 0.02 = current_vol，原样不变。重缩放后的序列升序为 [-0.03, -0.025, -0.02, 0.01, 0.02]。n = 5, alpha = 0.8 时 k = max(1, ceil(5 * 0.2 - 1e-12)) = 1，阈值是 pnl_rescaled_sorted[0] = -0.03，VaR 等于 0.03。同一份数据上，朴素的等权重历史 VaR 是 0.05（最坏一笔的原始亏损）；FHS 把那笔高波动制度下的贡献归一化掉了。

实践背景

五个常见正确性陷阱。第一，*两步变换*：先标准化、*再*重缩放。如果跳过第 1 步直接对 pnl_samples 跑历史 VaR，得到的就是朴素历史 VaR，FHS 的整个升级目标都丢了。第二，*顺序很要紧*：(pnl[t] / vol[t]) * current_vol 等价于 pnl[t] * (current_vol / vol[t])，但 vol[t] / (pnl[t] * current_vol) 不等价——代数等价的是「乘性重加权」那个写法。第三，*尾部大小公式*：k = max(1, ceil(N * (1 - alpha) - 1e-12))。1e-12 epsilon 兜底用来吸收 IEEE-754 漂移——200 * 0.05 浮点下是 10.000000000000009，朴素 ceil 会返回 11。少了兜底或用 floor 在边界情形会偏一位（与等权重历史 VaR 兄弟题口径一致）。第四，*符号约定*：VaR 是正的损失数值，所以阈值 PnL 要取负号；当尾部仍是盈利时，结果会是负数——这是约定。第五，*波动率单位归调用方*：函数不校验 volatility_estimates 与 current_vol 是否同一尺度。

三个值得记牢的 sanity-check 边界。(a) 当所有 volatility_estimates 都等于 current_vol 时，重缩放是恒等，FHS 退化为标准历史 VaR。(b) 当 current_vol 远大于历史 vols 时，每个重缩放值都被放大，VaR 按比例上调——这正是 FHS 要应对的「波动率制度上抬」模式。(c) 当 current_vol 远小于历史 vols 时，VaR 按比例下调——FHS 抓住了朴素历史 VaR 漏掉的制度回落。N=0 的情形返回 float('nan')；若任意 volatility_estimates[t] 恰好为零，标准化无定义，参考实现也返回 NaN（而不是 inf 或抛异常）。区分 FHS 与 EWMA 加权历史 VaR 兄弟题：那个用*时间衰减*权重作用于原始 PnL，而 FHS 用*波动率制度*重缩放——拉杆不同、升级目标相同。