通过 Cholesky 分解生成高斯 Copula 相关样本

实现 solution(z_independent: list[list[float]], correlation: list[list[float]]) -> list[list[float]]。某衍生品风险口对一只多资产结构化产品做估值，其收益依赖多个标的（一个权益因子、一个利率因子、一个 FX 因子）的联合走势。每条蒙特卡洛路径需要符合给定相关矩阵的相关标准正态抽样，矩阵由历史收益标定。教科书做法是高斯 Copula 采样：先抽独立 N(0, 1) 向量 z，再左乘相关矩阵的下三角 Cholesky 因子 L 得到相关标准正态。本函数完成确定性的"Cholesky + 矩阵-向量积"步骤——调用方已经抽好独立 z，函数本身不生成随机数。对每个样本 s in 0..S-1，返回 Z_corr[s] = L @ z_independent[s]，其中 L 是 correlation 的下三角 Cholesky 因子（满足 L @ L.T == correlation）。

下三角 vs 上三角 与 矩阵-向量积方向 都很关键。输出是 L @ z（列向量），L 是唯一对角非负的下三角因子，使得 L @ L.T == correlation。若错写为 U @ z（U 上三角），等同于做了协方差等于 U @ U.T 的不同变换——不等于输入相关矩阵。若错写为 z @ L（行向量乘矩阵），实际算的是 L.T @ z，也是错的。两种 bug 在第一分量上都恰好与正确答案部分一致，因此判别测试需要查非对称样本的第二行。

例

solution([[1.0, 1.0]], [[1.0, 0.5], [0.5, 1.0]]) 返回 [[1.0, 1.3660254037844386]]。逐步算 Cholesky：L[0][0] = sqrt(1.0) = 1.0。L[1][0] = correlation[1][0] / L[0][0] = 0.5 / 1.0 = 0.5。L[1][1] = sqrt(correlation[1][1] - L[1][0]^2) = sqrt(1 - 0.25) = sqrt(0.75) = 0.8660254...。所以 L = [[1, 0], [0.5, 0.8660254]]。单一样本 z = [1.0, 1.0]，下三角矩阵-向量积给出 Z_corr[0] = L[0][0] * z[0] = 1 * 1 = 1.0，Z_corr[1] = L[1][0] * z[0] + L[1][1] * z[1] = 0.5 + 0.8660254 = 1.3660254。输出 [[1.0, 1.3660254037844386]]。

下三角与上三角的对照算例：correlation = [[1.0, 0.5], [0.5, 1.0]]、z = [2.0, 1.0]，正确下三角答案 [2.0, 0.5 * 2 + sqrt(0.75) * 1] = [2.0, 1.8660254]。若构造上三角因子 U = [[1, 0.5], [0, sqrt(0.75)]] 再做 U @ z，得 [1 * 2 + 0.5 * 1, sqrt(0.75) * 1] = [2.5, 0.8660254]——第一分量就已经不同，bug 在第 0 行就能暴露。Matvec 方向 bug（z @ L 写法）更隐蔽——从第 1 行起才偏离，因此测试集两种 bug 的判别样例都包含。

需要明确的细节：S = 0（空 z_independent）返回 []——函数不抛异常。D = 1：correlation = [[1.0]]、L = [[1.0]]，输出等于输入。Identity 相关矩阵：L = I，输出等于输入。负相关（如 -0.7）：标准 Cholesky 递推天然处理——L[1][0] 直接成为负数。Spec 保证矩阵严格正定，每个 L[i][i]^2 > 0，参考实现不需要校验或处理非正定输入。

期望算法 O(D^3 + S * D^2)：Cholesky 分解是一次性的三次步（D <= 6，常数极小）；每个样本的矩阵-向量积是 O(D^2)，因为 L 下三角，内层求和只跑 k in 0..i 而不是 k in 0..D-1。内积索引含对角：Z_corr[s][i] = sum_{k=0..i} L[i][k] * z[k]。写成 k in 0..i-1（不含对角）会丢掉 L[i][i] * z[i] 这一项，导致系统性错误。

实现细节由 stubs/stub.py 提供。

实践背景

某衍生品风险口对一只多资产结构化产品做估值，其收益依赖多个标的（譬如一个权益因子、一个利率因子、一个 FX 因子）的联合走势。从历史收益标定的目标相关矩阵出发，需要抽出联合分布与该矩阵一致的蒙特卡洛路径。教科书做法是高斯 Copula 采样：（1）抽独立 N(0, 1) 向量 z，维度 D；（2）左乘目标相关矩阵的下三角 Cholesky 因子 L，得到相关标准正态 L @ z；（3）每个分量再走目标边际分布的逆 CDF 得到"均匀→边际"抽样。第 2 步——本函数 solution(...)——是确定性的线性代数核，剥离出来便于在没有随机性的前提下做单元测试。solution(...) 输出的是一批相关标准正态样本，下游会被交易台的工具库再走边际逆 CDF（同 cell 中的姊妹题）。下三角的约定有意义：Cholesky 因子满足 L @ L.T == correlation（不是 L.T @ L），左乘列向量保留标准正态分布的同时施加目标协方差：Cov(L @ z) = L * I * L.T = L @ L.T = correlation。