Black-Scholes 隐含波动率：严格递增定价曲线上的二分反演

实现 solution(market_price: float, S: float, K: float, T: float, r: float, is_call: int, tol: float) -> float。给定观测的期权 market_price、spot S、strike K、到期年数 T、连续复利无风险利率 r、is_call 标志（1 看涨、0 看跌），以及对反推 vol 的绝对容差 tol，返回满足 BS_price(S, K, T, r, sigma, is_call) = market_price 的 **Black-Scholes 隐含波动率 sigma >= 0**。在闭区间 [0, 5.0] 上**对 sigma 二分**：BS 定价对看涨与看跌都在 sigma 上严格递增，二分是良定的。当 hi - lo <= tol 时停并返回 (hi + lo) / 2。用 math.erf 计算正态 CDF：N(x) = 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)))。sigma = 0 处 BS 价坍缩为折现内在价值的下界（看涨 -> max(0, S - K*exp(-r*T))、看跌 -> max(0, K*exp(-r*T) - S)）。若 market_price < floor - 1e-9（不存在实数 IV——价格低于无套利下界）或 market_price > BS_price(sigma=5) + 1e-9（价格超过可搜索的上界），返回哨兵 -1.0。

例

solution(10.450583572185565, 100.0, 100.0, 1.0, 0.05, 1, 1e-7) 返回约 0.20。spot S = 100、strike K = 100、T = 1 年、rate r = 0.05，一只 ATM 1 年期看涨观测价 ~10.4506 对应 BS 隐含波动率 sigma ~= 0.20（反推到 1e-7 内）。solution(5.363275623326004, 100.0, 95.0, 0.5, 0.03, 0, 1e-7) 返回约 0.30：6 个月、K = 95 的 OTM 看跌报价 ~5.363 对应 sigma ~= 0.30。solution(2.309250374972599, 100.0, 130.0, 0.25, 0.04, 1, 1e-7) 返回约 0.50：3 个月、K = 130 的深度 OTM 看涨报价 ~2.309 对应 sigma ~= 0.50——这正是 smile 翼上、Newton-Raphson 在近零 vega 上 stall 的那种 quote，desk 必须能稳定反推。如果价格低于无套利下界（如 solution(13.5, 100.0, 90.0, 1.0, 0.05, 1, 1e-7)，该看涨的折现内在下界约 14.39），返回 -1.0——下界以下没有实数 IV 与之自洽。

关键形态是**在固定区间 [0, 5] 上对隐含波动率在严格递增的价格-vol 曲线上做二分**——与债券 YTM 画面（price 在 yield 上严格递减）和现金流 IRR 画面（NPV 的根可能没有全局单调性）根本不同。对 Black-Scholes，vega 在 (0, +infinity) 上严格为正，价格-vol 曲线从 sigma = 0 处的 floor = max(0, intrinsic*) 单调走到 sigma = 5 处的有限上界，区间由 spec 固定——没有自适应外推。两个 off-by-one 陷阱：(a) 把 BS 价当成 sigma 上的递减函数（于是选错半区间）；(b) 看跌公式应是 K*exp(-r*T)*N(-d2)（而不是 K*N(-d2)）——把折现因子 exp(-r*T) 从 K 上拆出来时只对一个支（call/put）做修改，会引入静默错误。Newton-Raphson 替代法在良性 quote 上更快，但在 vega ~ 0（深度 OTM、近零 T）时会 stall 或在 [0, 5] 外振荡——二分用约 32 次额外迭代换无条件收敛。

函数骨架见 stubs/stub.py。

实践背景

vol 曲面聚合台把原始 quote（期权中间价）喂给一个隐含 vol 反推器，使得下游的 skew、smile、期限结构都在无量纲的 sigma 上工作，而不是在依赖 S、K、T、r 的美元价上。这个反推函数在每次刷新的每个 (strike, expiry) 对上都要被调一次——一次返回 NaN 或者跑到合法区间外的 solver 迭代就会污染下游 smile 拟合。这里二分胜过 Newton-Raphson 的唯一原因是：深度 OTM 与近零 vega 的 quote 是股指 smile 翼上的家常便饭，Newton 的 sigma_{n+1} = sigma_n - (price_n - market_price) / vega_n 要么 stall（vega ~ 0）要么跳到 [0, sigma_max] 之外——两种失效模式都是 smile 聚合器无法承受的。代价是 ~log2(5/tol) 次迭代（tol = 1e-9 时约 32 次）；对单 quote 反推这是亚微秒级、可以忽略。生产系统有时把 Newton（快路径）与二分（安全路径）混合，以 |vega| < eps 切换——但纯二分 solver 才是所有其它 solver 的金标准参考实现。