Kupiec POF 似然比统计量：VaR 回溯检验

实现 solution(exceedance_count: int, total_obs: int, alpha: float) -> float。某风险台每日回溯检验看板把这一例程与 Basel 红绿灯分区分类器并列运行，作为 VaR 无条件覆盖性的正式假设检验。给定观测到的 VaR 突破次数 exceedance_count（= N）、回溯窗口长度 total_obs（= T）、VaR 置信度 alpha，返回 Kupiec (1995) Proportion-of-Failures 似然比统计量

LR_uc = 2 * [ N * ln(q / p) + (T - N) * ln((1 - q) / (1 - p)) ]

其中 p = 1 - alpha 是覆盖正确零假设下的理论突破率，q = N / T 是实现突破率。在零假设下 LR_uc 渐近服从 chi-square(1) 分布；当 LR_uc > 3.84 时按 95% 置信度拒绝模型。统计量恒非负（KL 散度非负 / Jensen 不等式应用于二项对数似然的结论）。

实现是常数时间的：从 alpha 算 p、相除得 q、两次 math.log、求和、乘 2。难点在 0 * ln(0) := 0 的边界约定。

算例

solution(3, 250, 0.99) 返回 0.09494012266442553。逐步：p = 1 - 0.99 = 0.01（理论突破率）；250 天窗口下模型期望 T*p = 2.5 个突破。观测 q = 3 / 250 = 0.012（轻微超）。第一项 3 * ln(0.012 / 0.01) = 3 * ln(1.2) ≈ 0.5470。第二项 247 * ln(0.988 / 0.99) ≈ -0.4995。求和 ≈ 0.0475，乘 2 得 ≈ 0.0949。远低于 chi-square(1) 95% 临界值 3.84——模型未被拒绝。

三个易错点

第一，**0 * ln(0) 边界**。每当 N = 0（未观测到突破）时 q = 0，第一项 N * ln(q / p) 是 0 * ln(0 / p) = 0 * (-inf)。数学上由 lim_{x->0} x * ln(x) = 0 应取 0，但直接让 Python 算就得到 0 * (-inf) = nan 把整体答案污染。须在 N == 0 时显式跳过该项。对称地，当 N = T（每天都突破）时 q = 1，第二项 (T - N) * ln((1 - q) / (1 - p)) 变为 0 * ln(0 / (1 - p)) = 0 * (-inf)；须在 N == T 时跳过。两个边界可见测试（N = 0 与 N = T）就是为抓不分支的写法而设。

第二，系数 2。统计量是 LR_uc = 2 * [ ... ]，来自标准 -2 * [ln L(p) - ln L(q)] 似然比定义（负号与 ln(q/p) 方向相消）。写成 1 * [ ... ] 得到一半——符号正确但 chi-square 阈值按双倍标定；写成 -2 * [ ... ] 翻转符号、产生负值，违反 LR_uc >= 0 不变量。

第三，p 与 alpha。理论突破率是 p = 1 - alpha，不是 p = alpha。99% VaR（alpha = 0.99）下期望 1% 突破率，故 p = 0.01。混淆二者会按错零假设计算，得出与模型充分性无关的数字。相邻易错点：写 q = p（把观测率写死等于理论率，结果恒为 0）或 math.log10（差 1/ln(10) ≈ 0.4343 倍）——任一 bug 都会在重度超出突破的隐藏测试上明显失败。

哨兵与边界

T = 0 在合约下不可达（total_obs >= 1），但参考解防御性地对该输入返回 float('nan')。

q == p（观测率恰等理论率）数学上给 LR_uc = 0——模型与零假设完美一致。浮点下结果是接近 0 的极小数（约 1e-14），落在比较器 abs_tol = 1e-9 容差内。

重度突破不足（如大 T 下 N = 0）可检测，但产生的统计量比对称的过度突破要小，因为二项对数似然在 q = 0 附近偏斜。T = 250、alpha = 0.99 下：观测零突破得 LR_uc ≈ 5.03（95% 拒绝），观测 4 个突破（2*期望）得 LR_uc ≈ 0.77（不拒绝）。

实践背景

Kupiec POF 检验是一支典型风险台 VaR 回溯检验看板上的正式假设检验支柱。它与本题库三道姊妹题互补：Basel 红绿灯分区分类器（绿/黄/红分类，无统计检验）、突破集群计数（连续突破最长游程，用于标记聚集 / 序列相关）、与更朴素的突破计数指标（喂入 Basel 分区但不考虑样本量）。Kupiec 把（次数、样本量、期望率）三元组化为单一统计量并把对真实突破率的不确定性纳入考量，这正是它属于真正似然比检验、而非 desk 启发式的原因。Christoffersen (1998) 的独立性检验在 Kupiec 无条件覆盖性检验上加了条件覆盖性分量；那是另一道题（也是另一个 LR 统计量）。