Lopez I 量级损失函数：VaR 回溯检验

实现 solution(realized_pnls: list[float], var_forecasts: list[float]) -> float。某风险台 VaR 回溯检验看板把这一例程与 Kupiec POF 二项检验、Christoffersen 独立性/条件覆盖性检验并列运行，作为补充“仅计数”检验的 magnitude-aware 评分。给定长度均为 T 的两个序列——日已实现 PnL（带符号；负数为亏损）与日 VaR 预报（正的亏损数）——返回 Lopez (1999) Type-I 损失：

LopezLoss = sum_t L_t
  L_t = 1 + (loss_excess_t)^2  当 realized_pnls[t] < -var_forecasts[t]
  L_t = 0                       否则
  loss_excess_t = (-realized_pnls[t]) - var_forecasts[t]

基项 1 给每次突破固定的计数贡献（使模型也按失败次数受罚，与 Kupiec POF 同源），平方超额项给每次失败的量级处罚（突破越大、得分越快地变大）。规范实现是带累加器的 O(T) 单遍扫描。

算例

solution([50000.0, -120000.0, 30000.0, -180000.0, -60000.0], [100000.0, 100000.0, 100000.0, 100000.0, 100000.0]) 返回 6800000002.0。5 天窗口、VaR 恒为 10 万。第 1 日（+5 万）、第 3 日（+3 万）、第 5 日（-6 万）均未突破。第 2 日（-12 万 < -10 万）突破，超额 2 万，贡献 1 + 20000^2 = 400000001；第 4 日（-18 万 < -10 万）突破，超额 8 万，贡献 1 + 80000^2 = 6400000001。合计 6800000002。第 4 日单日贡献约为第 2 日的 16 倍，因为量级项是平方——这正是 Lopez I 想要刻画的非对称。

六个易错点

第一，严格小于。规范用 <（严格小于），不是 <=。PnL 恰好等于负 VaR 时不是突破——它在阈值上而非阈值下。边界自检 solution([-100.0], [100.0]) 必须返回 0.0；用 <= 的写法返回 1.0。

第二，超额符号。规范是 loss_excess = (-realized_pnls[t]) - var_forecasts[t]。已实现亏损量级为 -realized_pnls[t]（亏损日为正）；减去正 VaR 即低于 VaR 的程度。漏负号写成 realized_pnls[t] - var_forecasts[t] 得到符号反向的“超额”：平方后虽仍非负，但量级完全错位（结果等于 |loss| + VaR 而非 |loss| - VaR）。

第三，**1 + 基项**。Lopez I 同时含计数分量（每次突破 +1）和量级分量（excess^2）。漏掉 1+ 的写法只算平方超额合计，是另一种统计量——超额 0.001 的微小突破贡献约 0 而非约 1，计数信号丢失。

第四，平方而非线性或立方。平方超额是 magnitude-aware 的设计选择：十次量级 1 的突破得 10·(1+1)=20，但单次量级 10 的突破得 1+100=101——五倍之差，尽管总量级相同。线性（|excess|，那是 Lopez II）会得 10 vs 10、丢失非对称；立方过度放大尾部事件、超出标定的 chi-square 解释。

第五，符号约定。var_forecasts[t] 以正亏损数给出（1% 1 日 VaR $25 万传入 250000.0 而非 -250000.0）；realized_pnls[t] 是带符号的。条件 realized_pnls[t] < -var_forecasts[t] 正确地把负号 PnL 与正阈值取负后比较；先把 var_forecasts[t] 取负的写法翻转方向，会把盈利日记成“突破”。

第六，非突破日贡献 0。平静日、盈利日、刚好等于阈值的日，贡献都恰为 0，不是（可能为负的）excess、不是 |excess|、也不是 1。无条件累加 excess（在平静日上为负）的写法，对非突破日也得到了 1 + excess^2，整个窗口被双重计数。

哨兵与边界

T == 0（空窗口）：返回 0.0（空求和约定）。两列表长度恒等，故 realized_pnls 为空时 var_forecasts 同样为空。

无突破：返回 0.0。窗口内零的累加。验证 solution([10.0]*100, [50.0]*100) == 0.0。

每日都突破：合计为窗口内 1 + excess_t^2 之和。T=1500 且每日超额 100 时，合计 1500 * (1 + 10000) = 15001500——稳稳落在双精度内。

边界情形：realized_pnls[t] == -var_forecasts[t] 严格不算突破（严格小于）。与误用 <= 的写法（会得到非零贡献）截然不同。

微小突破：例如超额 0.01 贡献 1.0001（1+ 基项保证即便极小突破贡献也不低于 1，计数信号完整保留）。

灾难突破：例如超额 1000.0 贡献 1 + 1e6 = 1000001——平方项完全压倒基项，正是设计意图。

实践背景

Lopez (1999, "Methods for Evaluating Value-at-Risk Estimates") 提出量级损失族，是因为 Kupiec POF 与 Christoffersen 独立性检验只按突破次数与时序独立性给 VaR 模型评分，忽略每次突破的大小。两家银行年内各 10 次突破——一家全部 10 万、另一家全部 100 万——在 POF 与独立性检验上同分。Lopez I 把它们按 100 倍区分（因 excess^2 大 100 倍），故为日 VaR 看板上的标准 magnitude-aware 评分。本题是题库中 magnitude-aware 的姊妹——区别于 Basel 红绿灯分区分类器（分类、仅计数）、突破集群计数例程（描述性、计数与最长集群）、Kupiec POF 似然比（二项 LR、边际率）、Christoffersen 独立性 LR（聚集）、Christoffersen 条件覆盖性 LR（联合检验）。这五者各自对应 VaR 回溯检验看板上的不同部件。