由累计违约概率反推期边际违约概率：逆向 bootstrap

实现 solution(cumulative_pd: list[float]) -> list[float]。某信贷风险团队拿到一只债务人的累计违约概率期限结构（由 CDS 利差或评级迁移在不同视野下校准）：cumulative_pd[t] 表示在第 t+1 期末（自然语义按 1 计数）的累计违约概率，元素 ∈ [0.0, 1.0]，且非递减。团队需要由此反推边际（每期、条件于存活）违约概率，作为期分解期望损失瀑布的基本输入（EL_t = marginal_pd_t * LGD_t * EAD_t * survival_t）。请返回长度为 T 的 list[float]，其中 marginal_pd[t] 表示在 0..t-1 都存活的条件下，第 t 期发生违约的条件概率。

定义

marginal_pd[0] = cumulative_pd[0]，无需除法（t = 0 之前存活概率为 1，条件化平凡）。对 t >= 1，

marginal_pd[t] = (cumulative_pd[t] - cumulative_pd[t-1]) / (1.0 - cumulative_pd[t-1])

这是前向合成 cumulative_pd[t] = 1 - prod_{k=0..t}(1 - marginal_pd[k]) 的唯一逆运算。重排存活递推 (1 - cumulative_pd[t]) = (1 - cumulative_pd[t-1]) * (1 - marginal_pd[t]) 解出 marginal_pd[t] 即得上式：marginal_pd[t] = 1 - (1 - cumulative_pd[t]) / (1 - cumulative_pd[t-1]) = (cumulative_pd[t] - cumulative_pd[t-1]) / (1 - cumulative_pd[t-1])。

示例

solution([0.1, 0.2, 0.4]) 返回 [0.1, 0.1111..., 0.25]。逐步：

• marginal_pd[0] = cumulative_pd[0] = 0.1。
• marginal_pd[1] = (0.2 - 0.1) / (1 - 0.1) = 0.1 / 0.9 ≈ 0.1111。注意不是 0.1（朴素增量）——见下方陷阱。
• marginal_pd[2] = (0.4 - 0.2) / (1 - 0.2) = 0.2 / 0.8 = 0.25。

第二例：solution([0.05, 0.145, 0.27325]) 返回 [0.05, 0.10, 0.15]。这是前向 sister 题的逆运算——marginals [0.05, 0.10, 0.15] 经 cumulative[t] = 1 - prod(1 - marginal[k]) 合成累计 [0.05, 0.145, 0.27325]，把累计回喂给 solution 还原原始 marginal。

条件 vs. 增量陷阱

最常见的作者错误是写 marginal_pd[t] = cumulative_pd[t] - cumulative_pd[t-1]（朴素增量）。增量是"第 t 期违约 AND 在 t-1 之前存活"的联合概率；marginal 是"第 t 期违约 GIVEN 在 t-1 之前存活"的条件概率。两者只在 cumulative_pd[t-1] = 0 时相等。算例：

• cumulative_pd = [0.1, 0.2]：增量给 marginal_pd[1] = 0.1；正确条件给 0.1 / 0.9 ≈ 0.1111。
• cumulative_pd = [0.5, 0.7, 0.9]：增量给 [0.5, 0.2, 0.2]；正确条件给 [0.5, 0.4, 0.6667]。
• cumulative_pd = [0.9, 0.95, 0.99]：增量给 [0.9, 0.05, 0.04]；正确条件给 [0.9, 0.5, 0.8]。

差距随前一位累计增大；高 PD 曲线下增量解法可能漏掉一个量级的实际经济风险。修法很简单：每个增量再除以存活概率 1 - cumulative_pd[t-1]。

t = 0 的特殊情形

t = 0 时条件化平凡（P(在 0 之前存活) = 1），所以 marginal_pd[0] = cumulative_pd[0]，无需除法。作者若写一个总是除以 1 - cumulative_pd[t-1] 的单分支实现，需要虚拟 cumulative_pd[-1] = 0 让公式退化：(cum[0] - 0) / (1 - 0) = cum[0]。数值上可行，但参考实现显式分开 t = 0 更整洁，也使 t >= 1 的吸收态逻辑与基线分支干净分离。

除零哨兵

当 cumulative_pd[t-1] == 1.0 时债务人在 t-1 期末已确定违约。"在存活条件下第 t 期违约的条件概率"无意义（无法对零测度的存活事件做条件），合约规定 marginal_pd[t] 返回 float('nan')。关键：一旦存活掉到 0，便永远是 0，所以触发后所有后续期 marginal 都得 NaN。参考实现检测触发条件（任意 t >= 1 处 cumulative_pd[t-1] == 1.0）后用 NaN 吞掉整条尾巴。

三种常见失败：

1. 让 Python 自动抛 ZeroDivisionError 算 (cum[t] - 1.0) / 0.0。合约规定值（NaN）而非异常。务必先检测 cumulative_pd[t-1] == 1.0，再做除法。
2. 在触发位置返回 NaN，但后续位置仍照常算 (cum[t+1] - 1.0) / (1 - 1.0)。一旦触发，往后每一项都得 NaN。
3. 触发条件写成 cumulative_pd[t] == 1.0（当前位置）而不是 cumulative_pd[t-1] == 1.0（前一位置）。哨兵看前一位——cumulative_pd = [0.5, 1.0] 返回 [0.5, 1.0]（无 NaN），因为 t = 1 时前一位是 0.5、不是 1.0。对照 cumulative_pd = [1.0, 1.0] 返回 [1.0, NaN]——t = 1 时前一位才是 1.0。

其他边界

• T == 0：返回 []。
• T == 1：返回 [cumulative_pd[0]]（t >= 1 分支不执行；不会触发 NaN）。
• cumulative_pd = [0.0, 0.0, ..., 0.0]：全 0（公式自然给 (0 - 0) / 1 = 0）。
• 连续相等的累计（cumulative_pd[t] == cumulative_pd[t-1]，且都 < 1.0）：本期无新增违约，分子为 0，marginal_pd[t] = 0。公式自然处理，无需特判。
• cumulative_pd = [0.5, 1.0]：返回 [0.5, 1.0]（最后一位的 1.0 不触发 NaN——哨兵看前一位，不是当前位）。

合约假设前置条件 cumulative_pd[t] >= cumulative_pd[t-1]（累计违约概率不能下降）对所有 t >= 1 成立。参考实现不做校验或裁剪。

预期算法 O(T)：单次前向扫描，跟踪前一位累计、计算每期 marginal、触发后切到"吸收态"。

stubs/stub.py 提供函数骨架。

实践背景

信贷风险团队经常拿到累计违约概率期限结构（由 CDS 利差或评级迁移在 1y、3y、5y、10y 多视野估计），需要反推暗含的边际每期违约率。Marginal 是期分解期望损失瀑布的天然输入（EL_t = marginal_pd_t * LGD_t * EAD_t * survival_t），用于全寿命预期信用损失（CECL 或 IFRS 9）报表、按期释放准备、减值计划等。solution(cumulative_pd) 给出由累计反向 bootstrap 出 marginal 的唯一逆映射——正向合成（cumulative_pd[t] = 1 - prod(1 - marginal_pd[k])）的天然姊妹/逆运算。Desk 两个方向都常用：正向把 hazard 模型投射成全寿命 PD，反向从挂出或建模的累计曲线提取每期违约率。