阈值网格上的均值超额曲线

某风控团队在 P&L 损失序列上做峰超阈值（POT）诊断，想把均值超额曲线画在一组规则的候选阈值网格上。均值超额函数

$$e(u) = \frac{1}{|\{i : \mathrm{losses}[i] > u\}|} \sum_{i : \mathrm{losses}[i] > u} (\mathrm{losses}[i] - u)$$

是极值理论里标准的阈值选择诊断：当 u_0 之上的超额服从形参为 xi 的广义 Pareto 分布（GPD）时，对 u >= u_0 而言 e(u) 近似为 u 的线性函数，斜率为 xi / (1 - xi)。视觉做法是在网格上评估 e(u)，找到曲线开始线性的最小 u，作为 GPD 拟合的推荐阈值。

实现 solution(losses: list[float], threshold_grid: list[float]) -> list[float]：对 threshold_grid 中的每个 u（独立计算，按输入顺序），如果至少有一个损失严格大于 u 就返回经验均值超额 e(u)，否则返回 float('nan')。

Example

solution([1.0, 3.0, 5.0, 8.0, 12.0], [0.0, 4.0, 10.0]) 返回 [5.8, 4.333..., 2.0]。

• u = 0：所有损失都超过 0；超额量为 [1, 3, 5, 8, 12]，和为 29，均值 29 / 5 = 5.8。
• u = 4：超额观测为 [5, 8, 12]；超额量为 [1, 4, 8]，和为 13，均值 13 / 3 ≈ 4.3333333...。
• u = 10：只有 12 超过；单一超额量为 2，均值 2.0。

网格项高于最大损失时返回 nan：solution([1.0, 3.0, 5.0], [10.0]) 等于 [float('nan')]，因为没有损失严格大于 10。网格项与某个损失相等时不计该损失：solution([1.0, 3.0, 5.0], [3.0]) 只对 {5} 求平均（超额量为 2），得到 [2.0]——严格的 loss > u 排除了 3.0 本身。

参考解为 O((N + K) log N)：把 losses 排序一次，构造长度 N + 1 的后缀和（tail_sum[j] = s[j] + ... + s[N-1]），然后对每个网格阈值 u 用 bisect_right(s, u) 找首个超额下标 j。令 m = N - j，超额量之和为 tail_sum[j] - u * m，e(u) = (tail_sum[j] - u * m) / m；m == 0 时输出 nan。在题目的规模下，朴素的 O(N * K) 逐阈值重扫也能在时限内完成。

实现细节由 stubs/stub.py 提供。

Edge cases

• N == 0（空 losses）：每个网格项都是 nan；返回 [float('nan')] * K。
• K == 0（空网格）：返回 []。空网格优先于空 losses。
• u 等于 max(losses)：严格的 > 排除最大值，超额集合为空，输出 nan。
• u < min(losses)：所有损失都计入；e(u) = mean(losses) - u。
• u 等于某个内部观测 v：等于 v 的项被排除（严格 >），只有严格大于 v 的损失构成超额集合。
• threshold_grid 中有重复值：每个重复项独立计算，在它各自的位置上各自产生一个输出。
• 负阈值与有正有负的损失（既有亏损也有盈利）：没有特别处理，严格 > 直接作用于带符号数值。

实践背景

阈值选择是 GPD 拟合中最脆弱的一步：u 选得太低会破坏 GPD 假设，u 选得太高则超额样本太少、xi 估计精度差。均值超额图——网格上的 e(u) 对 u 的曲线——给出一个视觉化健康检查：一段稳定的线性区表示从该最小 u 起 GPD 假设可信。风控桌面每天在新损失样本上跑这条曲线，配合 Hill 估计选定阈值，再喂到下游的尾部 VaR 与期望损失外推中。对超过经验最大值的网格项返回 nan 是刻意为之：让看板能区分「该 u 之上没有尾部数据」与「尾部平坦」，避免自动告警把空集静默吞掉。