Calibrating the Minimum Leverage Cap for a Target Risk Budget

风险管理岗负责一本 $N$ 个资产的持仓 book：每个资产有一个非负的单位波动率 $\mathrm{vol}_i \ge 0$ 和一个带符号权重 $w_i$（正 = 多头，负 = 空头）。账面总风险定义为按毛敞口加权的波动率：

$$\text{risk} = \sum_{i=1}^{N} |w_i| \cdot \mathrm{vol}_i.$$

合规给出每日风险预算 $\text{target\_risk}$，desk 需要通过单一的逐资产杠杆上限 $C$ 来落实它：每个毛权重被按 $|w_i| \leftarrow \min(|w_i|, C)$ 收紧后，再把原始符号贴回去。交易员的关切是校准——*「我们至少需要把上限收到多紧，才能让收紧后的组合仍然合规？」* 等价地说，找到使 post-cap 风险仍 $\le$ 预算的最大 $C$；那就是「最不严苛的合规上限」，也即合规可以要求的最小杠杆扣减。

实现 solution(vols, weights, target_risk, abs_tol) -> float。返回 $C$，使得在执行 $w_i \leftarrow \mathrm{sign}(w_i) \cdot \min(|w_i|, C)$ 之后，post-cap 总风险满足 $\sum_i \min(|w_i|, C) \cdot \mathrm{vol}_i \le \text{target\_risk}$，且 $C$ 收敛到阈值的 abs_tol 邻域内。

post-cap 风险函数

$$f(C) = \sum_{i=1}^{N} \min(|w_i|, C) \cdot \mathrm{vol}_i$$

在 $C$ 上非递减：每一项都是常数与 $C$ 线性增函数的逐点最小，乘上非负波动率，因此 $f$ 在 $C$ 上是非递减的分段线性函数。可行集 $\{C \ge 0 : f(C) \le \text{target\_risk}\}$ 是左端锚定的区间 $[0, C^\star]$，校准答案就是右端点 $C^\star$。由于判定单调，对 $C$ 做二分就能在 $O(N \log(\max|w_i| / \text{abs\_tol}))$ 内找到 $C^\star$ —— 不需要闭式解，也不会在分段线性的 knee 处出问题。

Edge 情形。 若 $\text{target\_risk} \ge \text{initial\_risk}$，未收紧的组合已经合规，最大可行上限是 $\max_i |w_i|$ —— 任何 $\ge$ 该值的上限都不会改写权重。若 $\text{target\_risk} = 0$ 且初始风险为正，唯一能把每个 $|w_i| \cdot \mathrm{vol}_i$ 压到 0 的上限是 $C = 0$。若 $\text{target\_risk} < 0$ 请求不可行，函数抛 ValueError。

示例

solution([0.20, 0.15, 0.10], [1.0, -2.0, 3.0], 0.5, 1e-9) 返回约 1.2。初始风险 = 0.2 + 0.3 + 0.3 = 0.8 > 0.5，需要收紧上限。在 $C=1.2$ 时第一资产 $|w|=1$ 已被锁在原权重，另两资产还在线性段（$1.2 < 2 < 3$），$f(1.2) = 0.2 \cdot 1 + 0.15 \cdot 1.2 + 0.10 \cdot 1.2 = 0.5$ 恰好等于预算。

solution([0.1, 0.2, 0.3], [1.0, -2.0, 3.0], 100.0, 1e-9) 返回 3.0。初始风险 = 1.4 < 100，未收紧的组合已经合规，最大不绑定的上限就是 $\max(|w|) = 3$。

solution([0.5, 0.5], [1.0, 1.0], 0.0, 1e-9) 返回 0.0。$\text{target\_risk} = 0$ 时唯一把每一项压到 0 的上限是 $C=0$。

参考 stubs/stub.py 中的函数骨架。

Practical context

杠杆上限校准是风险团队在策略中途突破预算时第一道伸手的杠杆。比起重跑优化器，他们问一个严格更便宜的问题：*「我们能加的最宽松的逐资产毛敞口上限是多少，使账面回到限额内？」* 答案是 $C$ 上一维单调判定式的阈值——正是「对答案做二分」最擅长的形状。也可以用 Newton 或区间根求解器去解 $f(C) - \text{target\_risk} = 0$，但 $f$ 在每个 $C = |w_i|$ 处都有 knee（每越过一个 knee 斜率就掉 $\mathrm{vol}_i$）—— Newton 可能正好在 knee 上停滞，而二分无论答案落在哪儿都按对半收敛。同样的「单调判定 + 二分」模式在 desk 上反复出现：换手率上限校准（让聚合换手率 $\le$ 预算的最宽松上限）、抢仓削减幅度（把 top-N 抢仓评分压回阈值的最小 haircut）、清算 / 净额结算模拟里的 netting-band 选择、以及压力测试约束下的资本缓冲尺寸。每个的 $f$ 不同，但算法核——可行性判定加上对连续阈值的二分——完全一样，工程收益也一样：在 O(N) 判定上叠 O(log(1/tol))，无参数易碎性，无需闭式解。本题训练这个范式的标准实例：在真金白银的风险约束上对一个杠杆上限做校准，全是 knee，毫无歧义。