Mincer-Zarnowitz OLS Regression for VaR-Forecast Unbiasedness

实现 solution(realized_pnls: list[float], var_forecasts: list[float]) -> list[float]。风险团队的日度 VaR 研究仪表盘把 Mincer-Zarnowitz (1969) OLS 回归 作为预测无偏性的正式检验，与基于次数的 Kupiec POF 似然比检验和分位数损失（pinball）回测一起使用。给定一个长度为 T 的实现带符号 PnL 序列（realized_pnls[t]）以及对应的日度正数损失 VaR 预测（var_forecasts[t]），做以下回归：

y[t] = realized_pnls[t]
x[t] = -var_forecasts[t]   # 取负以对齐符号：进入“带符号 PnL 空间”

slope_beta = sum_t (x[t] - x_bar) * (y[t] - y_bar) / (T - 1)
             ----------------------------------------------------
             sum_t (x[t] - x_bar)^2                    / (T - 1)

intercept_alpha = y_bar - slope_beta * x_bar

返回 [intercept_alpha, slope_beta]（α 在前，β 在后）。在无偏 VaR 预测下应有 α ≈ 0 且 β ≈ 1；偏离 (0, 1) 即为偏差证据。当 T < 2（数据不足）或所有 var_forecasts 完全相同（var(x) = 0，回归未定义）时，返回 [NaN, NaN]。比较器为 float，rel_tol = abs_tol = 1e-9、nan_equals_nan = true。

例子

solution([-0.01, -0.02, -0.015], [0.01, 0.02, 0.015]) 返回 [0.0, 1.0]。逐步推导：x = [-0.01, -0.02, -0.015]，y = [-0.01, -0.02, -0.015]，所以 y = x 完全相等。x_bar = y_bar = -0.015。dx = dy = [0.005, -0.005, 0.0]。sum(dx*dy) = 0.000025 + 0.000025 + 0 = 5e-5。sum(dx*dx) = 5e-5。代入 (T-1) = 2：cov_xy = 2.5e-5，var_x = 2.5e-5。slope_beta = 2.5e-5 / 2.5e-5 = 1.0。intercept_alpha = y_bar - 1 * x_bar = -0.015 - 1*(-0.015) = 0.0。输出 [0.0, 1.0]——这就是“完美无偏预测”的标准答案。再举一例：solution([-0.015, -0.035, -0.055], [0.01, 0.02, 0.03]) 返回约 [0.005, 2.0]。这里 realized = 0.005 + 2 * (-VaR) 完全成立，OLS 恢复出斜率 2、截距 0.005——也就是预测系统性低估损失幅度（β > 1）。

三个常见陷阱

第一个陷阱是 **符号约定取负 x = -var_forecasts**。var_forecasts 是按正数损失约定的（2% VaR 是 0.02），而 realized_pnls 是带符号的（2% 实现损失是 -0.02）。如果直接对 y = realized_pnls 关于 x = var_forecasts 做回归（不取负），斜率会反号——完美无偏预测（realized = -VaR + noise）此时给出 slope = -1 而非 +1，导致 β ≈ 1 的无偏性检验在所有干净输入上都失败。务必取负。

第二个陷阱是 截距公式 α = y_bar - β * x_bar。斜率修正项是必需的；如果写成 α = y_bar，会得到一个退化的“仅均值”估计，与 OLS 在所有非零均值输入上都不一致。验证方法：在完美无偏序列 realized = -var_forecasts 上，必须得到 α = 0（因为 y_bar = x_bar 且 β = 1，所以 α = x_bar - 1*x_bar = 0）。

第三个陷阱是 **输出顺序 [α, β]**：α 在前，β 在后。无偏性的基准是 (α, β) = (0, 1)。颠倒顺序在完美无偏输入上会返回 [1, 0]，让仪表盘的阈值检查把无偏判定成“失败”（它在看 output[0] ≈ 0 和 output[1] ≈ 1，但你给的是 [1, 0]）。

哨兵与边界情况

T < 2（空输入或单点输入）返回 [NaN, NaN]——少于两个观测点的回归没有自由度。(T-1) 分母会变成除以 0 或除以 1，但更本质的原因是斜率在数学上未定义。

所有 var_forecasts 相同（导致 var(x) = 0）返回 [NaN, NaN]。这是“预测无变化”的退化情形：所有 dx = 0，斜率的分子分母同时为零。注意这与 T < 2 哨兵不同；常数预测情形可以有任意大的 T。

realized_pnls 恒为 0、var_forecasts 有变化：y_bar = 0，所有 dy = 0，所以 cov_xy = 0、slope_beta = 0。然后 intercept_alpha = 0 - 0 * x_bar = 0。结果 [0.0, 0.0]（预测对一条平坦的实现序列完全有偏且毫无解释力）。

realized = -var_forecasts 完全成立、且至少有两个不同的预测值：返回 [0.0, 1.0]——这就是“完美无偏预测”的标准输出。

参见 stubs/stub.py 中的函数骨架。

实务背景

Mincer 与 Zarnowitz (1969) 引入了用 OLS 回归把实现值回归到预测值上来检验预测无偏性的方法：预测无偏当且仅当回归 realized = α + β * forecast + ε 满足 α = 0 且 β = 1。应用到 VaR 回测，它与另外两个回测支柱相互补充：Kupiec POF 似然比检验（基于次数的无条件覆盖率检验）和分位数损失/pinball 评分检验（在所选尾分位上的拟合检验）。Mincer-Zarnowitz 的优势在于它检验预测是否捕捉到损失分布的中心趋势，而不仅仅是突破次数。一份典型的 VaR 研究仪表盘会把这三个检验并列展示：通过 Kupiec 但不通过 Mincer-Zarnowitz 的预测，通常意味着突破率正确但存在系统性的水平偏差（例如在非突破日上一致地低估损失幅度）。这里返回的点估计 [α, β] 是联合 Wald 检验 H_0: (α, β) = (0, 1) 的输入；检验统计量本身留给下游例程处理。