在线累计 Bollinger 带：Welford 递推的带对序列

实现 solution(x: list[float], k_sigma: float) -> list[list[float]]。给定长度为 N 的逐期观测数组 x 与非负带宽倍数 k_sigma，输出长度为 N 的列表，第 k 项（1-indexed）为二元列表 [lower_band_k, upper_band_k]，定义为

lower_band_k = mean_k - k_sigma * sd_k
upper_band_k = mean_k + k_sigma * sd_k

其中 mean_k 与 sd_k 是 x[0..k-1] 的累计总体均值与标准差（分母 k，不是 k-1），通过 Welford 递推

delta    = x[k-1] - mean_old
mean_new = mean_old + delta / k
M2_new   = M2_old + delta * (x[k-1] - mean_new)
sd_k     = sqrt(M2_new / k)

从 mean_0 = 0、M2_0 = 0 起步。这道题的合约是先折入再读出：每个 tick 先把当前观测吸收进运行状态，再从那个状态读 mean 与 sd 来生成带对——不存在 prior-only z 分数那种"自污染分母"问题，因为第 k 个带对就是定义在包含当前观测的 x[0..k-1] 上。

关键工程要点是总体方差 vs 样本方差的分母选择。本题用分母 k，所以 k=1 时方差正好是 0，两条带都退化到 x[0]；改用 statistics.stdev（分母 k-1）会在 k=1 时除零，并在其它 k 处统一偏出 sqrt(k/(k-1)) 倍。Welford 是单趟 O(N)、O(1) 状态，且在大均值-小方差体制下保持数值稳定；教科书的两趟 sum(x^2)/n − (sum(x)/n)^2 写法在该体制下会因为两个相近正数的相消而输出 0 或负方差，让 sqrt 在合法输入上报错。

例

solution([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0], 2.0) 返回

[
  [1.0,                  1.0                ],
  [0.5,                  2.5                ],
  [0.3670068381445479,   3.632993161855452  ],
  [0.2639320225002102,   4.736067977499790  ],
  [0.1715728752538097,   5.828427124746190  ],
]

逐步：k=1 时窗口里只有一个样本，mean=1、sd=0，两条带都是 1。k=2 时前缀 [1, 2]，累计均值 1.5、总体方差 ((1-1.5)^2 + (2-1.5)^2)/2 = 0.25，sd = 0.5，带对 1.5 ± 2*0.5 = [0.5, 2.5]。k=3 时前缀 [1, 2, 3]，均值 2、总体方差 ((-1)^2 + 0 + 1^2)/3 = 2/3，sd = sqrt(2/3) ≈ 0.81650，带对 2 ± 2*sqrt(2/3) ≈ [0.367, 3.633]。k=5 时前缀 [1..5]，均值 3、总体方差 (4+1+0+1+4)/5 = 2、sd = sqrt(2)，带对 3 ± 2*sqrt(2) ≈ [0.172, 5.828]。如果用样本方差（分母 k-1），k=5 时会变成 3 ± 2*sqrt(2.5) ≈ [-0.162, 6.162]——判别测试会捕获这个漂移。

需明确若干细节：solution([], 1.5) 返回 []；常数流如 [3.5, 3.5, 3.5, 3.5] 输出 [[3.5, 3.5], [3.5, 3.5], [3.5, 3.5], [3.5, 3.5]]（sd 全程为 0）；k_sigma == 0 时每个 k 的带对都坍缩到累计均值；k_sigma 最大可达 100、x 量级可至 ±1e6——Welford 保数值稳定，朴素累加器不行。比较器使用绝对容差 1e-9，因此任何合理的 Welford 或等价补偿和实现都通过。

实现细节由 stubs/stub.py 提供。

实践背景

监控台想在某条收益 / 信号流上挂一个最简单的"当 tick 是否落在累计历史均值 ± k_sigma 包络外"的判断，最常见的就是 Bollinger 带几何。野外存在两种口味：滑动窗口形（取最近 W 期的均值与 sd，零售看图常用）和这里的累计历史形（在整段历史上累计均值与 sd）。当桌子希望整段回测——包括深尾——都参与到带的形状里、而不被一个本身可能并不代表性的近期窗口主导时，累计形是首选；它也是流式统计约束下的自然选择——例如低延迟的 on-ack 事后监控对每笔成交相对其全生命周期的统计打分时，维持滚动缓冲是昂贵的。把分母固定为 k（总体）而不是 k-1（样本）这一个细节是下游读者真正在意的：当带对后续要与 stack 别处按总体 sd 标定的预交易阈值比对时，两种分母约定会悄悄差出 sqrt(k/(k-1))，这个差在低 k 时会演变成系统性的阈值漂移。Welford 是承重递推，因为另一种选项——累加 sum(x) 与 sum(x*x) 再用 E[X^2] - E[X]^2 读方差——在 mid 报价、FX 汇率这种大均值-小离散度的流上会失败：两个接近的正数相消可以输出零或负方差，让 sqrt 在合法输入上报错。Welford 累加的是相对运行均值的平方偏差、而不是相对零的，从而避开相消。