滚动均值与平均绝对偏差

某个流式统计服务接收一组数值样本,需要报告两个汇总量:算术 均值,以及 以均值为中心的平均绝对偏差(MAD),其定义为 MAD = mean(|x_i - mean(x)|)。均值是天然的位置估计量,MAD 是它的 L1 偏差搭档——最简单的不加权离散度度量,不对残差取平方。问题在于 MAD 依赖均值,而均值要等所有样本看完才能确定,因此严格意义上的单遍精确 MAD 是不可能的。标准做法是两遍:一遍算均值,第二遍累加绝对偏差。

实现 solution(values: list[float]) -> dict,返回 {"n": N, "mean": mean, "mad": MAD}。第一遍:mean = sum(values) / N。第二遍:MAD = sum(|x - mean| for x in values) / N。因为输入是具体的列表,O(N) 内存可接受——直接对列表迭代两次,只需两个标量累加器。

$$\text{mean} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i, \qquad \text{MAD} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \bigl|x_i - \text{mean}\bigr|$$

举例:solution([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]) 返回 {"n": 5, "mean": 3.0, "mad": 1.2}:均值 15/5 = 3.0,绝对偏差 [2, 1, 0, 1, 2],平均 6/5 = 1.2。再看一例:solution([7.0, 7.0, 7.0, 7.0]) 返回 {"n": 4, "mean": 7.0, "mad": 0.0}——所有偏差为 0。第三例:solution([]) 按约定返回 {"n": 0, "mean": 0.0, "mad": 0.0}。

实践背景

均值与平均绝对偏差是任何时序监控仪表盘上的主力组合:延迟、成交率、单笔 P&L、滑点。它们计算便宜、读起来直观,而且单位正确(MAD 与原始数据同单位,这一点优于方差)。均值版 MAD 是与算术均值配套的通用离散度估计量——它是标准差的 L1 类比,在肥尾不是主要威胁、且希望度量保持原始单位(不取平方根)时,优先于标准差。它与 coding-mad-zscore-cross-section 中用于 1.4826 * MAD 重缩放的中位数版 MAD 不是同一个东西:那个版本是与中位数配套的稳健离散度估计量,一旦样本里出现离群值,两个公式给出的结果就会显著分叉。选哪一个是建模决策,不是编码决策——下面的实现是有意为之的均值版。