在线流式计算均值、方差、偏度与超额峰度（Welford-Pebay）

某流式风险监控持续接收 P&L（或收益） tick，每来一个就要把*累计*的样本均值、样本方差、样本偏度、样本超额峰度算出来——而且不能存历史。偏度与超额峰度是衡量分布对称性与厚尾的标准工具：盘中盯实时 P&L 的桌台不仅关心已实现波动率是否在抬升，更关心分布是否开始非对称（偏度向负漂——亏损端变厚）或者开始重尾（超额峰度跳升——尾部事件变频繁）。一个 7×24 的监控显然不能存下每一笔 tick；标准做法是 Welford 在线算法的高阶推广，即 Pébay (2008) 更新——只维护五个标量 (n, M1, M2, M3, M4)，每个样本 O(1) 完成更新。

实现 solution(values: list[float]) -> dict。逐个处理 values（不能缓存整个数组、不能做第二遍扫描），最后返回四个样本统计量：

$$\text{variance} = \frac{M_2}{n - 1}, \qquad \text{skewness} = \frac{M_3 / n}{\sqrt{(M_2 / n)^3}} \cdot \frac{n^2}{(n - 1)(n - 2)},$$

$$\text{kurtosis} = \frac{n - 1}{(n - 2)(n - 3)} \left( \frac{(n + 1)\, n\, M_4}{M_2^2} - 3(n - 1) \right),$$

其中 $M_k = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^k$ 是 Pébay 更新维护的滚动中心矩累加量：

$$\Delta = x - M_1, \quad \delta = \tfrac{\Delta}{n+1}, \quad t = \Delta\,\delta\,n,$$

$$M_4 \mathrel{+}= t\,\delta^{2}\bigl((n+1)^2 - 3(n+1) + 3\bigr) + 6\,\delta^{2}\,M_2 - 4\,\delta\,M_3,$$

$$M_3 \mathrel{+}= t\,\delta\,(n - 1) - 3\,\delta\,M_2, \qquad M_2 \mathrel{+}= t, \qquad M_1 \mathrel{+}= \delta.$$

更新顺序很关键：$M_4$ 用的是旧的 $M_2$ 与 $M_3$；$M_3$ 用的是旧的 $M_2$；最后才能改写 $M_2$ 与 $M_1$。返回的 kurtosis 是超额峰度（已减 3，正态样本期望 ≈ 0）。

边界情形：

• n == 0：返回 {"n": 0, "mean": 0.0, "variance": 0.0, "skewness": 0.0, "kurtosis": 0.0}。
• n == 1：方差、偏度、峰度均为 0.0（样本量不足）。
• n == 2：方差有定义，但偏度、峰度为 0.0。
• n == 3：方差、偏度有定义，但峰度为 0.0（需 n >= 4）。
• 所有元素相等：M2 = 0，方差、偏度、峰度全部为 0.0；mean 仍如实返回该常数。

例如，solution([1.0, 2.0, 4.0]) 返回 {"n": 3, "mean": 2.333..., "variance": 2.333..., "skewness": 1.7181079837227284, "kurtosis": 0.0}（均值 7/3、样本方差 7/3、n<4 所以峰度强制为 0）。solution([3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5]) 返回 {"n": 5, "mean": 3.5, "variance": 0.0, "skewness": 0.0, "kurtosis": 0.0}——所有元素相等的退化路径。solution([1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 10.0])（极端正偏的五元素流）返回 {"n": 5, "mean": 2.8, "variance": 16.2, "skewness": 3.125, "kurtosis": 5.0}。

实践背景

一个真实的 P&L 实时监控不可能把多策略账簿连续多年的每一笔交易、每一根分钟收益都留在内存里；即便只盯一个策略的逐秒 tick 流，几天之内内存就会爆掉。Welford 1962 年的在线公式从此成为流式均值与方差的教科书答案，而 Pébay (2008) 又把它自然延伸到三阶、四阶中心矩——刚好就是尾部风险面板需要的两个量。同样的五标量状态（n、M1、M2、M3、M4）天然支持成对合并（Chan–Golub–LeVeque 合并公式），所以 Spark 的 org.apache.spark.util.StatCounter、Pandas 的 rolling().skew() / rolling().kurt() 内核背后都是同一套递推。能够在尾部事件真正发生之前就识别出已实现偏度向负漂、或者超额峰度抬升的 regime，正是这套算法的目的；亚微秒级的逐 tick 预算则是逼出流式形式的根本约束。n < 4 时各项坍缩为 0 也是工程意义上的：刚启动的策略只有几笔成交，*不应当*基于三个点报出离谱的偏度/峰度；按惯例返回 0.0 就是标准的"样本不足，请忽略"信号。