分段扁平 hazard 期限结构下多视野存活概率

实现 solution(hazards: list[float], period_lengths: list[float], query_horizons: list[float]) -> list[float]。某信用风险口对一个债务人持有一组分段扁平的 hazard 期限结构——hazards[t] 是第 t 个 tenor 桶上的恒定 hazard 速率（单位 1/年），period_lengths[t] 是该桶的长度（单位年）。各桶从左到右无缝拼接：第 t 个桶覆盖 [endpoint[t-1], endpoint[t])，其中 endpoint[t] = sum_{k<=t} period_lengths[k]。对每个查询视野 h（来自 query_horizons），返回存活概率 Q(h) = exp(-integral_0^h lambda(s) ds)——债务人在 h 年前未违约的概率。

在分段扁平假设下，积分可拆为若干完整桶之和，加上 h 所在桶的部分期贡献。若 endpoint[i-1] < h <= endpoint[i]，则

cumulative_hazard_to_h = sum_{k<i} (hazards[k] * period_lengths[k])
                       + hazards[i] * (h - endpoint[i-1])
Q(h)                   = exp(-cumulative_hazard_to_h)

第一个求和是上一个桶端点处的累计 hazard；第二项是 h 所在桶的部分期贡献。

例

solution([0.01, 0.02, 0.04], [1.0, 1.0, 1.0], [0.5, 1.0, 2.0, 3.0]) 返回 [0.9950124791926823, 0.9900498337491681, 0.9704455335485082, 0.9323938199059483]。三个桶分别为 0..1（hazard 0.01）、1..2（hazard 0.02）、2..3（hazard 0.04）。h = 0.5 时累计 hazard 为 0.01 * 0.5 = 0.005（桶 0 的部分期），Q = exp(-0.005) ≈ 0.99501。h = 1 时刚走完桶 0，cum_haz = 0.01，Q = exp(-0.01) ≈ 0.99005。h = 2 时 cum_haz = 0.01 + 0.02 = 0.03。h = 3 时 cum_haz = 0.01 + 0.02 + 0.04 = 0.07，Q = exp(-0.07) ≈ 0.93239。

易错点

第一处是部分期贡献。查询 h 落在桶 i 内部（严格在 endpoint[i-1] 与 endpoint[i] 之间）时，桶 i 的贡献为 hazards[i] * (h - endpoint[i-1])——只有 h 左侧那部分。作者若误用整桶 period_lengths[i]，对任何不在桶端点的 h 都会高估 hazard。具体校验：hazards = [0.01, 0.50]、period_lengths = [1.0, 1.0]、h = 1.7，正确 cum_haz = 0.01 + 0.50 * 0.7 = 0.36（Q ≈ 0.6977）；错误的整桶 cum_haz = 0.01 + 0.50 * 1.0 = 0.51（Q ≈ 0.6005）。单测大约差 0.1，桶 hazard 越大、部分期占比越小，错得越厉害。

第二处是保序。输出必须与 query_horizons 顺序完全一致——重复也按输入顺序输出。作者若内部对 query 排序（为单调指针扫描的便利）后忘了把排列还原回去，会得到值正确但槽位错误的输出。参考解直接按 query_horizons 顺序遍历、对每个 h 独立计算 Q(h)；T <= 30、K <= 30 之下无需任何排序优化。query_horizons 的重复按输入顺序逐一输出；不要去重。

第三处是 h = 0 边界。Q(0) = 1.0 恒成立——零时间流逝即必然存活，与 hazard 期限结构无关。在做任何部分期算术 之前 就对 h <= 0 短路。作者若依赖线性扫描跑到 i = 0、再算 hazards[0] * (0 - 0) = 0 会侥幸算对，但 T = 0 时（无桶可索引）hazards[0] 立即抛 IndexError。

第四处是恰好落在桶端点。h = endpoint[i] 时，部分期项 hazards[i] * (h - endpoint[i-1]) 正好等于整桶 hazards[i] * period_lengths[i]——累计 hazard 恰是 cum_haz[i]（桶 i 端点处的累计 hazard）。作者若特判"仅当 h 严格小于端点时才加部分期"、在端点处跳过这一项，会把最后一个桶整体漏掉。干净的规则：只要 endpoints[i-1] < h <= endpoints[i]，就有 cum_haz_to_h = cum_haz[i-1] + hazards[i] * (h - endpoints[i-1])，等号情况落在右边。

第五处是存活概率形式。Q(h) = exp(-cum_haz_to_h)，不是 1 - cum_haz_to_h、也 不是 prod_t (1 - hazards[t] * period_lengths[t])。当 lambda * dt 较大时离散线性近似会发散：单桶 hazards = 3.0、period_lengths = 1.0、h = 1.0，线性 1 - 3.0 = -2.0（非法——负的存活概率），正确 exp(-3.0) ≈ 0.0498。一律用 math.exp 与指数形式。

第六处是 T = 0 哨兵。无桶定义时，从 0 到任意正 h 的积分未定义（无 hazard 可积）。T = 0 时：h = 0 返回 1.0（空积分为零），h > 0 返回 NaN。用 float('nan')。作者若抛异常或返回 0.0 都违反契约；评测器开启 nan_equals_nan = true、NaN 与期望输出里的 NaN 精确匹配。

哨兵与边界

len(query_horizons) == 0 时立即返回 []。len(hazards) == 0 时：任何 query_horizons[k] > 0 的项为 NaN；任何 query_horizons[k] == 0 的项为 1.0。否则算法为：先 O(T) 一遍预计算累计端点与累计 hazard 前缀；再对每个 query 用线性扫描或二分定位 h 所在桶，套累计-hazard-加部分期公式即可。T <= 30、K <= 30 之下，每查询线性扫描即可。

实现细节由 stubs/stub.py 提供。

实践背景

信用风险建模中违约强度的期限结构常被参数化为分段扁平——每个 tenor 桶（典型的 CDS 标准网格 1y、3y、5y、7y、10y）一个常数 hazard lambda_t。任意视野 h 处的累计存活概率 Q(h) 由 lambda(s) 的分段积分给出：完全落在 h 左侧的桶贡献整段，h 所在桶贡献部分期。该函数回答"债务人活到 h 年的概率是多少？"——是终生预期损失合成、CDS 定价、压力情景下资本预测的输入列。把部分期项写错（h 落在桶中间却用整桶长度）会高估 hazard、低估存活；同一个错误公式落到每个 obligor 上时，整个组合的偏差会同向叠加。

姊妹题

• coding-cumulative-default-prob-from-marginal-hazard-rates——离散时间 边际 PD 期限结构；本题用 连续时间 分段扁平 hazard。
• coding-cds-implied-flat-hazard-cumulative-pd——单 tenor par-CDS 利差到累计 PD。
• coding-cds-curve-flat-hazard-survival-curve——CDS 曲线下逐 tenor 独立 扁平-hazard 存活（不做链式合成）。
• coding-marginal-pd-from-cumulative-term-structure——反向（累计 → 边际）。

本题是分段连续 hazard 累计存活的姊妹题：给定分段扁平 hazard 期限结构与一组任意查询视野，返回每个视野上与期限结构一致的存活概率。