在线累计 Pearson 相关系数（Welford 共动差递推）

实现 solution(x_stream: list[float], y_stream: list[float]) -> list[float]。给定两条等长配对流 x_stream 与 y_stream，长度 N (≥ 0)，维护五个 Welford 风格运行标量 (mean_x, mean_y, M2_x, M2_y, C2_xy)——其中 M2_x = sum_i (x_i − mean_x_n)**2、M2_y = sum_i (y_i − mean_y_n)**2、C2_xy = sum_i (x_i − mean_x_n)(y_i − mean_y_n) 分别是关于运行均值的累计二阶中心矩与累计交叉中心矩。每观测到新的一对 (x_new, y_new) 后，输出累计历史 Pearson 相关系数

corr_k = C2_xy / sqrt(M2_x * M2_y)

仅当 M2_x > 0 且 M2_y > 0 同时成立；否则输出 float('nan')。索引 k = 0（n = 1）时两条运行方差按构造严格为 0，因此首项始终为 NaN；任一流的前缀为常数也输出 NaN。空输入返回 []。

第 (k+1) 次观测的 Welford 共动差更新（更新后 n = k + 1）为

delta_x   = x_new - mean_x
mean_x_new = mean_x + delta_x / n
delta_y   = y_new - mean_y
mean_y_new = mean_y + delta_y / n
M2_x  += delta_x * (x_new - mean_x_new)
M2_y  += delta_y * (y_new - mean_y_new)
C2_xy += delta_x * (y_new - mean_y_new)   # 不对称：旧 mean_x、新 mean_y

C2 行是唯一的微妙之处。它通过 delta_x 使用旧 mean_x，通过 y_new − mean_y_new 使用新 mean_y；代数等价对偶 delta_y * (x_new − mean_x_new) 也可。混搭错误的两半（例如 delta_x * (y_new − mean_y) 仍取旧 mean_y）会沉默地偏移轨迹。

例

solution([0.01, -0.02, 0.015, -0.005, 0.03], [0.02, -0.01, 0.018, -0.008, 0.025]) 大致返回 [NaN, 1.0, 0.9816036292717386, 0.9235589222731387, 0.9324346713662166]。在 k = 0 两条方差精确为 0，所以输出 NaN；在 k = 1 两点样本恰好共线，corr = 1 到机器精度（一般地：任意两点都完美共线）；从 k = 2 起运行相关系数即为该前缀的样本 Pearson 相关，因为两条流大体同向运动而维持接近 1。总开销 O(N) 时间、O(N) 输出空间、O(1) 额外状态。

朴素替代——每一步从前缀重新计算 (mean(x*y) − mean(x)·mean(y)) / sqrt(var(x)·var(y))——是 O(N²) 的，并且当数据聚集在远离零的位置时会失精度（参见以 1e6 为均值的 adversarial 用例，那里两遍式得到的甚至不再夹在 [−1, 1] 内）。

函数骨架见 stubs/stub.py。

实践背景

跨资产风控监视台上常常实时盯着两条收益流之间的累计历史 Pearson 相关——例如某策略每根 bar 的 PnL 流与一条基准因子流，或者两条本应作为对冲的 book-mid 收益流。这里相关系数不被当作预测，而是用作体制变化哨兵：相关系数突降意味着市场状态变了，或者策略与原本的驱动脱钩了；无论是哪一种，风控系统都希望提前几分钟而不是滞后几分钟知道。Welford 共动差递推让"每个 tick 在每对受监对上更新"足够便宜：每观测一次只更新一次、不需要回看历史、并且在台面数据日常跨越的几个数量级范围（盘中收益 tick 的 1e-4 与跨夜 P&L 的 1e6 并存）下数值稳定。生产中真正会咬人的两条合约正是测试在考的：n = 1 时的 NaN 兜底（出错则要么在第一次观测就崩溃，要么悄悄输出 0/1 而仪表盘以为已经在线），以及常数前缀的 NaN 分支（行情卡住或暂停送出恒值时面板必须显式给出"未定义"，而不是 0 或除零异常）。这与 EWMA 衰减协方差不同——这里没有衰减旋钮，每次观测等权贡献——也与秩相关不同——后者根本不使用值层面的 Pearson 公式。