风险情景树的期望 PnL

风险官给出一棵刻画下季度 PnL 走向的通用情景树。根节点为 {"prob": 1.0, "children": [...]}；每个非叶节点都带一个 prob（条件概率——已经到达父节点的前提下到达本节点的概率，不是全局/联合概率）以及一个 children 列表，列表里所有 prob 之和为 1.0；每个叶节点带一个 prob 和一个 pnl（一个有限 float——该情景下实际兑现的 PnL）。请用如下递推求出根节点的期望 PnL：

$$E[\text{node}] = \begin{cases} \text{node.pnl} & \text{当 node 是叶子} \\ \sum_{c \in \text{children}} c.\text{prob} \cdot E[c] & \text{否则} \end{cases}$$

并返回单个 float。根节点自己的 prob（1.0）只是惯例标记——答案就是 E[\text{root}] 本身。请实现 solution(tree) -> float，用一次递归 DFS；输入树形就是上述递归 dict。

校验合约。 每个非叶节点必须满足 abs(sum(child.prob for child in children) - 1.0) <= 1e-9，否则输入非法，必须 raise ValueError。空 children 列表也是非法（一个没有任何延续的非叶节点没有意义——如果它没有续推，就该写成带 pnl 的叶子），同样 raise ValueError。两个校验都要在求和 child.prob * E[child] 之前完成。递推用的是条件的 child.prob，不是从根节点累乘出来的联合概率。

例

solution({
    "prob": 1.0,
    "children": [
        {"prob": 0.6, "pnl": 100.0},
        {"prob": 0.4, "pnl": -50.0}
    ]
})

返回 40.0：根节点下挂两个叶子，60% 概率拿到 +100、40% 概率拿到 -50，所以 E = 0.6 * 100 + 0.4 * (-50) = 60 - 20 = 40.0。把条件概率换成均匀的 1/k = 0.5，结果会变成 0.5 * 100 + 0.5 * (-50) = 25.0，差出来的 15.0 远超 1e-9 的比较器容差。

实践背景

情景树期望是 quant 桌每季度风险会上的标配「资本影响估算」工具。风险官写下一棵这样的树：「rates 上 50bps 概率 0.2、不动概率 0.6、下行概率 0.2；然后在每种利率情形下，credit-spread 走宽 / 收窄按各自子概率分裂；再然后股票端在每个分支里出最终冲击」——桌上要的就是一个数：整棵树上的期望 PnL。生产中的树通常层数不深（3–6 层），但每层都很宽；条件概率递推让数学保持干净——每个分支贡献 prob * E[child]，与到达它的路径无关。同样的 backsolve 几乎不用改就能套到信用迁移矩阵（Markov 转移树）、实物期权分析里的嵌套决策树，以及多项情景 VaR 的期望 payoff 阶段。