通过 Cholesky 与卡方标度生成 t-Copula 相关样本

实现 solution(z_independent: list[list[float]], chi_sq_samples: list[float], nu: int, correlation: list[list[float]]) -> list[list[float]]。某多资产风险引擎需要在给定相关矩阵 correlation 与自由度 nu 下抽多元 Student-t 样本，以捕获 Gaussian copula 漏掉的尾部依赖。教科书做法：（1）抽 S 个 D 维独立 N(0, 1) 向量；（2）抽 S 个独立 chi-square(nu) 标量；（3）对正态做 Cholesky 变换以施加相关；（4）逐样本乘 sqrt(nu / chi_sq) 把边际从正态转成 t。第 1、2 步由调用方完成（作为 z_independent 与 chi_sq_samples 传入），本函数只做确定性的"线性代数 + 标度"核——剥离出来便于无随机源单测。对每个样本 s in 0..S-1，返回 t_corr[s] = (L @ z_independent[s]) * sqrt(nu / chi_sq_samples[s])，其中 L 是 correlation 的下三角 Cholesky 因子（满足 L @ L.T == correlation）。

三个易错点。标度方向：sqrt(nu / chi_sq)，不是 sqrt(chi_sq / nu)。每样本标量而非全局也非逐维：每个样本有自己的标度标量统一乘到该样本所有 D 维。Cholesky 的细节：下 vs 上三角、mat-vec 方向 L @ z 而非 z @ L、内积索引含对角——与 Gaussian-copula 姊妹题相同。

例

solution([[1.0, 1.0]], [1.0], 4, [[1.0, 0.5], [0.5, 1.0]]) 返回 [[2.0, 2.732050807568877]]。逐步：Cholesky 给出 L = [[1, 0], [0.5, sqrt(0.75)]]，所以相关正态 Z_corr[0] = [1.0, 0.5 + sqrt(0.75)] = [1.0, 1.3660254...]。逐样本标度 sqrt(nu / chi_sq) = sqrt(4 / 1) = 2.0。相乘：t_corr[0] = [2.0, 2 * 1.3660254...] = [2.0, 2.7320508...]。输出每个边际是自由度 4 的 t 分布，相关结构 0.5。

为什么是 t-copula 而非 Gaussian copula

Gaussian copula 能施加目标相关，但其联合尾衰减太快：极端联合下移（例如所有资产同时跌 5+ 个标准差）在 Gaussian copula 中指数级稀有。压力时段实测的多资产收益数据通常显示出比 Gaussian 假设厚得多的联合尾。t-copula 通过引入"逐样本的同一卡方标度"升级构造：同一卡方标量同时乘到该样本的每一维，意味着整个向量被一起重新缩放。当 chi_sq 较小时（在自由度 nu 较小的卡方下并不罕见），该样本的所有分量按比例同时爆发——这正是联合极端共振事件。数学上，这给出非零的尾部依赖：lim_{q -> 1} P(U_1 > q | U_2 > q) > 0 在 t-copula 下成立，而 Gaussian 下 = 0。nu 越小尾越厚（nu = 1 类柯西，nu -> infinity 退化为 Gaussian）。

算法

期望算法 O(D^3 + S * D^2)：Cholesky 是一次性的三次步；每个样本一次下三角 mat-vec（O(D^2)）加一次标量乘（O(D)）。D <= 6、S <= 30 时总运算量 ~6000 基本操作。具体步骤：

1. Cholesky：构造下三角 L，使 L @ L.T == correlation。标准递推：

• L[i][j] = (correlation[i][j] - sum_{k<j} L[i][k] * L[j][k]) / L[j][j]，j < i
• L[i][i] = sqrt(correlation[i][i] - sum_{k<i} L[i][k]^2)
• L[i][j] = 0，j > i

1. 逐样本循环，s in 0..S-1：

• 算相关正态 Z_corr[s][i] = sum_{k=0..i} L[i][k] * z_independent[s][k]（下三角 mat-vec，k 含对角）。
• 算标量 scale_s = sqrt(nu / chi_sq_samples[s])。
• 输出 t_corr[s][i] = Z_corr[s][i] * scale_s。

1. 返回 t_corr。

需要明确的细节：S = 0 返回 []。D = 1：L = [[1]]，输出 z[s][0] * sqrt(nu / chi_sq[s])。Identity 相关矩阵：L = I，输出逐维解耦。chi-square 输入由调用方预校验为严格正（>= 0.001），所以参考实现不需要处理除零或负数开方。标度是每样本一个标量，在该样本所有 D 维上统一乘。

实现细节由 stubs/stub.py 提供。

实践背景

某多资产结构化产品台跑蒙特卡洛压力测试，监测股票、利率、FX、信用因子的联合极端共振。其原 Gaussian-copula 模拟器低估了联合尾风险：在观测到的压力时段，资产相关跳升，多个因子同时爆发，但 Gaussian copula 几乎不分配概率到该联合尾。该台升级到 t-copula，nu 由历史联合尾行为标定（股票-利率-FX 篮子的 nu 通常在 4 到 10 之间，信用更低）。模块化管线把确定性的线性代数与标度核（本函数）从上游 RNG（由可种子 PRNG 层产生的独立正态 + 独立卡方）和下游边际映射（另一函数把 t 分布分量经逆边际 CDF 映射到经验边际目标）中分离出来。剥离确定性核便于按解析期望做单元测试、模拟器升级时的回归对比，以及只通过加一个 chi_sq_samples 参数和 nu 参数把 Gaussian copula 切换到 t-copula——管线其余部分（采样、边际映射、估值）不变。