由 PIT 序列估计跨周期 PD：存活率的几何平均

实现 solution(pit_pds: list[float]) -> float。某信用风险口在最近若干期上跑了一个 Point-in-Time（PIT）PD 模型，得到序列 pit_pds，其中 pit_pds[t] 是模型在第 t 期的 PIT 违约概率估计。该口需要把这条序列折成一个跨周期（TTC）PD——能复现整段周期存活的"代表性单期违约率"——以输入终生预期信用损失瀑布。TTC 约定为"1 减去各期存活概率的几何平均"：

对每个 t: survival[t] = 1 - pit_pds[t]
geometric_mean_survival = (prod_t survival[t]) ** (1 / T)
ttc_pd = 1 - geometric_mean_survival

若输入序列为空（T = 0），返回 NaN（无观测；长期均值未定义）。若任意 pit_pds[t] == 1.0（某期必违约），存活几何平均为 0，ttc_pd = 1.0，精确。

**几何平均取在"存活" 1 - pit_pds[t] 上，不是直接取在 pit_pds[t] 上。** 原因是乘法的：穿越整段周期意味着每期都活下来，所以周期存活是各期存活的乘积；T 次方后能复现该乘积的"代表性单期速率"，是各期存活的几何平均。直接对 pit_pds 取几何平均会得到一个不同、有偏的数（仅在常数 p 等退化情形下与存活法一致）。

例

solution([0.04, 0.16]) 返回约 0.10200222717425411。手算：survival = [0.96, 0.84]；乘积 0.8064；几何平均 sqrt(0.8064) = 0.8979977728...；ttc_pd = 1 - 0.8979977728... = 0.1020022271...。对比错误"对 pit_pds 取几何平均"：sqrt(0.04 * 0.16) = sqrt(0.0064) = 0.08，明显不同且有偏。

常数序列 sanity check：solution([0.05, 0.05, 0.05, 0.05]) 精确返回 0.05（相等存活 0.95 的几何平均仍是 0.95，1 - 0.95 = 0.05）。T = 1 sanity check：solution([0.07]) 精确返回 0.07（单值的几何平均就是它本身）。空输入：solution([]) 返回 NaN。必违约：solution([0.10, 1.0, 0.05]) 返回 1.0（第二期保证违约，周期存活为 0）。

期望算法 O(T)，并用对数避免长序列下小存活值的乘积下溢：log_geo = (1/T) * sum_t log(1 - pit_pds[t])，再 ttc_pd = 1 - exp(log_geo)。先短路"任意 pit_pds[t] == 1.0 分支"，避免去算 log(0) = -inf；显式守卫比依赖 -inf 在 exp 与减法中的传播更干净。

实现细节由 stubs/stub.py 提供。

实践背景

某信贷台持有长久期贷款组合，标定的 PIT PD 模型对宏观周期高度敏感：估值在衰退时陡升、扩张时回落。监管（巴塞尔）与会计准则（IFRS 9、CECL）有时要求一个 TTC PD——一个稳定的、跨周期平均的代表性单期违约率——作为终生预期损失瀑布的输入，或作为对照 PIT 估计是否反应过度的基准。"存活率几何平均"约定是把一条 PIT 时间序列折成单一 TTC 数字的标准做法：它保留了存活概率的乘法复合逻辑，常数周期上与 PIT 完全相等，混合序列下则落在最小与最大 PIT 之间。直接对 pit_pds 取算术平均会高估长期速率（存活在 PD 上凹，Jensen 不等式生效），直接对 pit_pds 取几何平均则混淆了量纲——它仅在退化的常数 p 情形下恰巧与存活法重合，对任何非常数序列都会得到有偏数。solution(...) 的输出就是该口在终生预期损失瀑布里要乘 LGD 与 EAD 的"TTC PD"那一列。