VaR 命中残差的 Lag-1 自相关

实现 solution(realized_pnls: list[float], var_forecasts: list[float]) -> float。某风险台每日 VaR 回溯检验看板把这一例程与突破计数、Christoffersen LR_ind 统计量并列运行，作为 VaR 突破在时间上是否聚集的快速可视化诊断。给定长度 T 的每日 PnL 与对应的次日 VaR 预测（正损失数），构造命中指示序列

h[t] = 1   若  realized_pnls[t] < -var_forecasts[t]
h[t] = 0   否则

并返回标准样本 lag-1 自相关

acf_1 = sum_{t=1..T-1} (h[t] - h_bar) * (h[t-1] - h_bar)
        ----------------------------------------------------
              sum_{t=0..T-1} (h[t] - h_bar)^2

其中 h_bar = (1/T) * sum_t h[t] 是样本均值。acf_1 强正说明突破集中在被模型遗漏的波动率簇中；强负说明命中-未命中交替过度（常见于波动率预测在突破后一日才反应）；接近 0 与 i.i.d. 突破一致。实现是三遍线性扫描（均值、分子交叉积、分母平方偏差）；除指示数组外空间为 O(1)。

算例

solution([-60000.0, -55000.0, -70000.0, 8000.0, 4000.0, -52000.0, -58000.0, 5000.0], [50000.0, 50000.0, 50000.0, 50000.0, 50000.0, 50000.0, 50000.0, 50000.0]) 返回 0.058333...。逐日突破判定：第 0、1、2 日亏损超过 50000（命中）；第 3、4 日盈利（未命中）；第 5、6 日亏损超过 50000（命中）；第 7 日盈利（未命中）。所以 h = [1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0]，h_bar = 5/8 = 0.625。中心化偏差在命中处为 +3/8、未命中处为 -5/8。7 个 lag-1 交叉积之和为 7/64；8 个平方偏差之和为 5*(3/8)^2 + 3*(5/8)^2 = 15/8。故 acf_1 = (7/64) / (15/8) = 7/120 ≈ 0.0583——轻度正自相关，与可见的两段短聚簇一致。

哨兵与边界

T < 2：连续配对为 0，lag-1 ACF 未定义；返回 float('nan')。覆盖空列表与任意单日窗口。

分母 == 0：平方偏差和归零的唯一可能是 h 为常数——窗口内全无突破（每项都是 0）或每日都突破（每项都是 1）。两种情形下中心化残差全为 0，公式是 0 / 0。返回 float('nan')——无方差可相关。漏掉该分支的写法在全未命中输入（平静期最常见）或全命中输入（合成压力测试中偶发）上除零崩溃。

「除单一翻转外为常数」的命中模式——如 [0, ..., 0, 1]——方差仍为正，ACF 良定义；不要把常数-h 哨兵扩展到真正的常数之外。

五个易错点

第一，严格不等与非严格不等。命中条件为 realized_pnls[t] < -var_forecasts[t]；损失恰好等于阈值是模型预测准确，不是命中。把 < 写成 <= 的作者多算的命中数恰为「相等日数」，并污染下游所有中心化偏差。判别测试在六日窗口里塞了三天精确相等——严格版返回 -7/12、非严格版返回 ≈ -0.033。

第二，**var_forecasts 的符号约定。预测为正损失数**：var_forecasts[t] = 50000.0 意味着「明日亏损不超过 50000 的把握很高」，故突破判定为 realized_pnls[t] < -var_forecasts[t]（注意一元负号）。把 var_forecasts[t] 当作有符号 PnL 下界、写成 realized_pnls[t] < var_forecasts[t] 的作者每天都判错。

第三，标准样本 ACF 公式。分子分母都要减去样本均值 h_bar：分子是 (h[t] - h_bar) * (h[t-1] - h_bar)、分母是 (h[t] - h_bar)^2。任意一边漏减 h_bar（例如以未中心化分子除以中心化分母）得到的偏值与教科书 ACF 不一致。

第四，求和范围不对称。分子是 T-1 个 lag-1 交叉积（t = 1..T-1）；分母是 T 个平方偏差（t = 0..T-1）。两边硬凑同一区间——例如把分母也从 t = 1 起算「对齐」分子——得到的是另一个（同样有偏）ACF，与标准约定不一致。

第五，分母 == 0 哨兵。h 为常数（全 0 或全 1）时所有中心化偏差为 0、分母为 0。不要默默除以 0；返回 float('nan') 表示「无方差可相关」。形式与 Kupiec / Christoffersen 的稀疏数据 NaN 哨兵一致——VaR 回溯检验姊妹族在该处保持统一。

实践背景

正确标定的 VaR 模型下，命中指示序列应近似 i.i.d. Bernoulli——边际突破率匹配理论率（Kupiec POF）且相邻命中相互独立（Christoffersen LR_ind）。lag-1 样本 ACF 是后者的最简标量诊断：正 ACF 表示命中在时间上聚集（被模型遗漏的波动率簇/regime）；负 ACF 表示反聚集（常见于波动率预测在突破后一日才反应）；零 ACF 与 i.i.d. 突破一致。LR_ind 不易在图上读出，但 ACF 在折线图上一眼可见，故被放在每日回溯检验看板的突破计数旁边，配合 LR_ind 完成正式卡方决断。

本题是题库的标量诊断姊妹——区别于 coding-christoffersen-independence-lr-test（同一性质的形式化卡方似然比检验）、coding-var-backtest-exceedance-cluster-count（数最长连续突破段，而非自相关）、coding-kupiec-pof-likelihood-ratio（无条件覆盖性、忽略时序结构）、coding-lopez-magnitude-loss-function-var-backtest（按损失幅度加权、非时序诊断）。