在已实现系统因子下的 Vasicek 单因子条件 PD
Vasicek Single-Factor Conditional PD Given a Realized Systematic Factor
开始编码实现 solution(z_unconditional: float, asset_correlation: float, systematic_factor_z: float) -> float。信贷风险团队对每个对手方、每个已实现宏观态都调用一次此函数，把对手方的无条件违约阈值与银行选定的资产相关性，转换成在已实现系统因子 M 下的条件违约概率。这是 Vasicek 单因子原语，也是监管 IRB 资本和大多数解析与 Monte Carlo 组合信贷损失引擎的核心。
输入：
z_unconditional—— 对手方的标准化违约触发阈值，等于Phi^-1(unconditional_pd)。调用方已经对无条件 PD 做过反正态变换；本函数只消费这个标量阈值（带符号；低 PD 时为负）。asset_correlation—— 参数R，落在[0.0, 1.0]：对手方资产收益与系统因子之间的相关系数的平方。R越大，对手方违约触发对宏观态越敏感。R = 1.0是退化端点，由下面的 NaN 哨兵处理。systematic_factor_z—— 已实现的系统因子M，一个标准正态抽样（带符号）。负的M是不利宏观态；正的M是有利宏观态。
输出由如下可观测公式定义：
- 参数：
arg = (z_unconditional - sqrt(asset_correlation) * systematic_factor_z) / sqrt(1 - asset_correlation)。 - 标准正态 CDF：
conditional_pd = Phi(arg)，其中Phi(x) = 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)))。
退化模型的哨兵：
- 若
asset_correlation == 1.0，分母sqrt(1 - R)为零，条件 PD 数学上未定义。返回float('nan')。
只要 asset_correlation < 1.0，分母严格为正，除法良定义。输出是 [0, 1] 内的概率。
例
solution(-2.326347874040841, 0.20, 0.0) 返回约 0.004648489920910659。对手方的无条件 PD 是 Phi(-2.326...) = 1%；资产相关性是 R = 0.20；已实现的系统因子是中位 M = 0。参数为 (-2.326... - sqrt(0.20) * 0) / sqrt(0.80) = -2.326.../0.8944... = -2.601...，Phi(-2.601...) ≈ 0.00465 = 46.5 bp。条件在中位宏观态上时，条件 PD 低于 1% 的无条件基准：把同一个负阈值除以 sqrt(1 - R) < 1 之后会变得更极端（更负），Phi 在更极端的负数上的取值更小。直观解释：M = 0 时"已知宏观处于平均"，把半个标准差的宏观信息吸入后验后，对手方剩余的特异阈值要跨过更高的门槛才能违约。
应力态放大效应算例：solution(-2.326347874040841, 0.20, -2.0) 返回约 0.054695548310186026。同一对手方（PD = 1%）、同一资产相关性（R = 0.20），但应力宏观态 M = -2（两个标准差的不利冲击）。参数变成 (-2.326... - sqrt(0.20) * (-2)) / sqrt(0.80) = (-2.326 + 0.8944) / 0.8944 = -1.6011，Phi(-1.6011) ≈ 5.47%。条件 PD 从 1%（无条件）跳到了约 5.5%——五倍之多。这就是 Vasicek 模型的核心信息：尾部宏观态通过资产相关性渠道把违约概率成倍放大。
有利态算例：solution(-2.326347874040841, 0.20, 2.0) 返回约 0.0001585368182744351。同样设置，但 M = +2（强劲的顺风宏观态）。参数为 (-2.326 - sqrt(0.20) * 2)/sqrt(0.80) = (-2.326 - 0.8944) / 0.8944 = -3.601，Phi(-3.601) ≈ 0.000159 = 1.59 个基点。条件 PD 从 1% 塌缩到约 16 bp——与应力情形对称的有利镜像。
R = 1 哨兵算例：solution(-2.326347874040841, 1.0, 0.0) 返回 float('nan')。资产相关性达到了退化的上限；分母 sqrt(1 - 1) = 0，条件 PD 未定义。返回 NaN——不要返回 0.0，不要抛异常。
R = 0 吸收边界算例：solution(-2.326347874040841, 0.0, -1.5) 返回约 0.01。R = 0 时 sqrt(R) * M = 0，sqrt(1 - R) = 1，公式塌缩为 Phi(z_unconditional) = Phi(-2.326...) = 1%——也就是无条件 PD。系统因子完全不起作用，因为零资产相关性下对手方的资产收益与宏观因子独立。
边界：asset_correlation == 1.0 返回 NaN（退化）。asset_correlation == 0.0 无论 systematic_factor_z 取多少都返回无条件 PD。systematic_factor_z = 0（中位宏观）在 R > 0 且 z_unconditional < 0 时返回低于无条件 PD 的值（负阈值被除以 sqrt(1 - R) < 1 后变得更极端）；z_unconditional > 0 时反之对称。z_unconditional 很负（低无条件 PD）时条件 PD 一直很小，除非 M 也强烈为负。本函数对约束区间内任何输入都不抛异常；NaN 哨兵是 R = 1 情形的合同输出。
实现细节由 stubs/stub.py 提供。
实践背景
Vasicek 单因子高斯 Copula 模型——由 Oldrich Vasicek 提出，被采纳为 Basel II/III IRB 资本框架的解析骨架——把每个对手方的标准化资产收益分解为系统成分 sqrt(R) * M 和特异成分 sqrt(1 - R) * eps_i，其中 M 与 eps_i 是独立的标准正态。当资产收益跌破阈值 z_unconditional = Phi^-1(unconditional_pd) 时违约。在已实现系统因子 M = m 上做条件后，特异成分是仅剩的随机性，所以条件违约概率为 P(sqrt(R) * m + sqrt(1 - R) * eps_i < z_unconditional) = Phi((z_unconditional - sqrt(R) * m) / sqrt(1 - R))。这个条件 PD 是 IRB 渐近单一风险因子（ASRF）资本公式的输入：监管设 M = Phi^-1(0.001)（99.9 分位的不利宏观态，即 M ≈ -3.09）以得到最坏情况下的条件 PD，然后乘以 LGD 与有效到期调整，得到每单位敞口的资本要求。同一原语也喂给 Monte Carlo 组合信贷损失引擎（抽 M，对每个对手方算这个条件 PD，把二元违约相加）、大组合渐近损失分布（在无穷颗粒度下，条件 PD 曲线本身就是损失分布）以及压力测试引擎（把 M 设为目标分位读出条件违约率）。本原语刻意把以下几条实现陷阱显式化——分子是减 sqrt(R) * M（宏观应力的符号通过减去负数流入 PD）、分母是 sqrt(1 - R) 而非 sqrt(R)（特异标准差，不是系统）、输出是 Phi 而非 erf（[0, 1] 内的概率，不是 [-1, 1] 内的值）、输入是反正态阈值而非 PD 本身——这些正是生产信贷风控回归测试反复抓到的方向性与维度错误。纯 O(1) 实现（两次开方、一次减法、一次除法、一次 erf、一次平移缩放）就是标准原语；面对几百个宏观抽样、几百万对手方的生产系统按同一递推式做向量广播，但每次调用的合同完全相同。
约束条件
- -5.0 <= z_unconditional <= 5.0
- 0.0 <= asset_correlation <= 1.0
- -5.0 <= systematic_factor_z <= 5.0
- 输出：float —— 条件 PD，落在 [0, 1]，或当 asset_correlation == 1.0 时为 NaN
- 浮点比较器使用 rel_tol=1e-9, abs_tol=1e-9, nan_equals_nan=true
样例
Case 1 · statement-example: median macro, 1% PD, R=0.20
输入: [-2.326347874040841,0.2,0]
期望: 0.004648489920910659
无条件 PD = 1%（z = Phi^-1(0.01) ≈ -2.326）。R = 0.20，M = 0，arg = -2.326/sqrt(0.80) ≈ -2.601，Phi(-2.601) ≈ 0.00465 = 46.5 bp——**低于** 1% 基准。负阈值除以 sqrt(1 - R) < 1 后变得更极端，Phi 取值更小。
Case 2 · statement-example: stressed macro M=-2, 1% PD, R=0.20
输入: [-2.326347874040841,0.2,-2]
期望: 0.054695548310186026
同一对手方，应力 M = -2。arg = (-2.326 + sqrt(0.20)*2)/sqrt(0.80) ≈ -1.601，Phi(-1.601) ≈ 5.47%。从无条件 1% 跳到五倍——Vasicek 尾部放大。
Case 3 · statement-example: R = 1 returns NaN sentinel
输入: [-2.326347874040841,1,0]
期望: "NaN"
asset_correlation = 1.0 -> 分母 sqrt(1 - R) = 0，模型退化，条件 PD 未定义 -> NaN。
Case 4 · typical: benign macro M=+2, 1% PD, R=0.20
输入: [-2.326347874040841,0.2,2]
期望: 0.0001585368182744351
同一对手方，有利顺风 M = +2。arg ≈ -3.601，Phi ≈ 0.000159 = 1.59 bp。M = -2 应力情形的对称镜像。
Case 5 · typical: R = 0 absorbing, M has no effect (returns unconditional PD)
输入: [-2.326347874040841,0,-1.5]
期望: 0.010000000000000009
R = 0 -> sqrt(0)*M = 0 且 sqrt(1-0) = 1，因此 conditional_pd = Phi(z) = 1%，与 M 无关。系统因子通道关闭。
Case 6 · typical: severe stress M=-3.5, 1% PD, R=0.20
输入: [-2.326347874040841,0.2,-3.5]
期望: 0.19740245477544682
M = -3.5（比 99.9 分位还更不利）作用在 PD=1%、R=0.20 的对手方上。arg ≈ -0.851，Phi ≈ 19.74%。条件 PD 接近无条件基准的二十倍。
Case 7 · typical: 5% PD, R=0.15, median macro
输入: [-1.6448536269514722,0.15,0]
期望: 0.03720417559535216
z = Phi^-1(0.05) ≈ -1.645，R = 0.15，M = 0。arg = -1.645/sqrt(0.85) ≈ -1.784，Phi ≈ 3.72%。低于 5% 基准：负阈值除以 sqrt(1 - R) < 1 后变得更极端。
Case 8 · typical: 5% PD, R=0.15, M=-2 stress
输入: [-1.6448536269514722,0.15,-2]
期望: 0.1726036808645422
5% PD 对手方，R = 0.15，M = -2。arg ≈ -0.944，Phi ≈ 17.26%。条件 PD 相对 5% 无条件涨了三倍多。
Case 9 · typical: 5% PD, R=0.15, M=+2 benign
输入: [-1.6448536269514722,0.15,2]
期望: 0.004341844058280919
5% PD 对手方，R = 0.15，M = +2。arg ≈ -2.624，Phi ≈ 0.434%。条件 PD 压到约 43 bp。
Case 10 · typical: 0.1% PD high-grade obligor, R=0.30, M=0
输入: [-3.090232306167813,0.3,0]
期望: 0.00011057943536707526
投资级对手方：z = Phi^-1(0.001) ≈ -3.090，R = 0.30，M = 0。arg = -3.09/sqrt(0.70) ≈ -3.694，Phi ≈ 0.011%。条件 PD 略高于 1 bp。
Case 11 · typical: 0.1% PD, R=0.30, M=-2 stress
输入: [-3.090232306167813,0.3,-2]
期望: 0.008557527229073048
同一投资级对手方在 M = -2 应力下。arg = (-3.09 + sqrt(0.30)*2)/sqrt(0.70) ≈ -2.384，Phi ≈ 0.856%。条件 PD 相对 0.1% 基准跳了约 80 倍。
Case 12 · typical: 10% PD high-yield obligor, R=0.10, median macro
输入: [-1.2815515655446004,0.1,0]
期望: 0.08836790517422427
高收益对手方：z = Phi^-1(0.10) ≈ -1.282，R = 0.10，M = 0。arg = -1.282/sqrt(0.90) ≈ -1.351，Phi ≈ 8.84%。略低于 10% 基准。
Case 13 · typical: 10% PD, R=0.10, M=-1.5
输入: [-1.2815515655446004,0.1,-1.5]
期望: 0.19741968513641323
高收益对手方在中度应力 M = -1.5。arg = (-1.282 + sqrt(0.10)*1.5)/sqrt(0.90) ≈ -0.851，Phi ≈ 19.74%。约为基准两倍。
Case 14 · boundary: z=0 (PD=50%), R=0.5, M=0 returns 0.5
输入: [0,0.5,0]
期望: 0.5
z = 0 表示无条件 PD = 50%。M = 0 时 arg = 0/sqrt(0.5) = 0，Phi(0) = 0.5。条件 PD 恰为 50%。
Case 15 · boundary: z=0, R=0.5, M=-1 symmetric stress
输入: [0,0.5,-1]
期望: 0.8413447460685429
z = 0（PD = 50%），M = -1。arg = sqrt(0.5)/sqrt(0.5) = 1，Phi(1) ≈ 84.13%。条件 PD 在一倍标准差不利宏观下从 50% 跳到 84%。
Case 16 · boundary: z=0, R=0.5, M=+1 symmetric benign
输入: [0,0.5,1]
期望: 0.15865525393145707
M=-1 情形的镜像：arg = -1，Phi(-1) ≈ 15.87%。从 50% 对称塌缩到约 16%。
Case 17 · boundary: R=0 with M=+5 maximum systematic shock has no effect
输入: [0,0,5]
期望: 0.5
R = 0 完全吸收系统冲击。arg = 0/1 = 0，无论 M = +5 与否，conditional_pd = 0.5。
Case 18 · boundary: R=0 with M=-5 maximum systematic shock has no effect
输入: [0,0,-5]
期望: 0.5
R=0 与 M=+5 情形的镜像；conditional_pd = 0.5。
Case 19 · boundary: R=0.99 huge correlation, M=0 still gives 0.5
输入: [0,0.99,0]
期望: 0.5
R 非常大但 M = 0。arg = 0/sqrt(0.01) = 0，Phi(0) = 0.5。
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编码区
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默认展示公开样例。点击「运行样例」后会在这里显示实际输出；点击「提交评测」会进入隐藏测试。
Case 1 · statement-example: median macro, 1% PD, R=0.20
输入: [-2.326347874040841,0.2,0]
期望: 0.004648489920910659
无条件 PD = 1%（z = Phi^-1(0.01) ≈ -2.326）。R = 0.20，M = 0，arg = -2.326/sqrt(0.80) ≈ -2.601，Phi(-2.601) ≈ 0.00465 = 46.5 bp——**低于** 1% 基准。负阈值除以 sqrt(1 - R) < 1 后变得更极端，Phi 取值更小。
Case 2 · statement-example: stressed macro M=-2, 1% PD, R=0.20
输入: [-2.326347874040841,0.2,-2]
期望: 0.054695548310186026
同一对手方，应力 M = -2。arg = (-2.326 + sqrt(0.20)*2)/sqrt(0.80) ≈ -1.601，Phi(-1.601) ≈ 5.47%。从无条件 1% 跳到五倍——Vasicek 尾部放大。
Case 3 · statement-example: R = 1 returns NaN sentinel
输入: [-2.326347874040841,1,0]
期望: "NaN"
asset_correlation = 1.0 -> 分母 sqrt(1 - R) = 0，模型退化，条件 PD 未定义 -> NaN。
Case 4 · typical: benign macro M=+2, 1% PD, R=0.20
输入: [-2.326347874040841,0.2,2]
期望: 0.0001585368182744351
同一对手方，有利顺风 M = +2。arg ≈ -3.601，Phi ≈ 0.000159 = 1.59 bp。M = -2 应力情形的对称镜像。
Case 5 · typical: R = 0 absorbing, M has no effect (returns unconditional PD)
输入: [-2.326347874040841,0,-1.5]
期望: 0.010000000000000009
R = 0 -> sqrt(0)*M = 0 且 sqrt(1-0) = 1，因此 conditional_pd = Phi(z) = 1%，与 M 无关。系统因子通道关闭。
Case 6 · typical: severe stress M=-3.5, 1% PD, R=0.20
输入: [-2.326347874040841,0.2,-3.5]
期望: 0.19740245477544682
M = -3.5（比 99.9 分位还更不利）作用在 PD=1%、R=0.20 的对手方上。arg ≈ -0.851，Phi ≈ 19.74%。条件 PD 接近无条件基准的二十倍。
Case 7 · typical: 5% PD, R=0.15, median macro
输入: [-1.6448536269514722,0.15,0]
期望: 0.03720417559535216
z = Phi^-1(0.05) ≈ -1.645，R = 0.15，M = 0。arg = -1.645/sqrt(0.85) ≈ -1.784，Phi ≈ 3.72%。低于 5% 基准：负阈值除以 sqrt(1 - R) < 1 后变得更极端。
Case 8 · typical: 5% PD, R=0.15, M=-2 stress
输入: [-1.6448536269514722,0.15,-2]
期望: 0.1726036808645422
5% PD 对手方，R = 0.15，M = -2。arg ≈ -0.944，Phi ≈ 17.26%。条件 PD 相对 5% 无条件涨了三倍多。
Case 9 · typical: 5% PD, R=0.15, M=+2 benign
输入: [-1.6448536269514722,0.15,2]
期望: 0.004341844058280919
5% PD 对手方，R = 0.15，M = +2。arg ≈ -2.624，Phi ≈ 0.434%。条件 PD 压到约 43 bp。
Case 10 · typical: 0.1% PD high-grade obligor, R=0.30, M=0
输入: [-3.090232306167813,0.3,0]
期望: 0.00011057943536707526
投资级对手方：z = Phi^-1(0.001) ≈ -3.090，R = 0.30，M = 0。arg = -3.09/sqrt(0.70) ≈ -3.694，Phi ≈ 0.011%。条件 PD 略高于 1 bp。
Case 11 · typical: 0.1% PD, R=0.30, M=-2 stress
输入: [-3.090232306167813,0.3,-2]
期望: 0.008557527229073048
同一投资级对手方在 M = -2 应力下。arg = (-3.09 + sqrt(0.30)*2)/sqrt(0.70) ≈ -2.384，Phi ≈ 0.856%。条件 PD 相对 0.1% 基准跳了约 80 倍。
Case 12 · typical: 10% PD high-yield obligor, R=0.10, median macro
输入: [-1.2815515655446004,0.1,0]
期望: 0.08836790517422427
高收益对手方：z = Phi^-1(0.10) ≈ -1.282，R = 0.10，M = 0。arg = -1.282/sqrt(0.90) ≈ -1.351，Phi ≈ 8.84%。略低于 10% 基准。
Case 13 · typical: 10% PD, R=0.10, M=-1.5
输入: [-1.2815515655446004,0.1,-1.5]
期望: 0.19741968513641323
高收益对手方在中度应力 M = -1.5。arg = (-1.282 + sqrt(0.10)*1.5)/sqrt(0.90) ≈ -0.851，Phi ≈ 19.74%。约为基准两倍。
Case 14 · boundary: z=0 (PD=50%), R=0.5, M=0 returns 0.5
输入: [0,0.5,0]
期望: 0.5
z = 0 表示无条件 PD = 50%。M = 0 时 arg = 0/sqrt(0.5) = 0，Phi(0) = 0.5。条件 PD 恰为 50%。
Case 15 · boundary: z=0, R=0.5, M=-1 symmetric stress
输入: [0,0.5,-1]
期望: 0.8413447460685429
z = 0（PD = 50%），M = -1。arg = sqrt(0.5)/sqrt(0.5) = 1，Phi(1) ≈ 84.13%。条件 PD 在一倍标准差不利宏观下从 50% 跳到 84%。
Case 16 · boundary: z=0, R=0.5, M=+1 symmetric benign
输入: [0,0.5,1]
期望: 0.15865525393145707
M=-1 情形的镜像：arg = -1，Phi(-1) ≈ 15.87%。从 50% 对称塌缩到约 16%。
Case 17 · boundary: R=0 with M=+5 maximum systematic shock has no effect
输入: [0,0,5]
期望: 0.5
R = 0 完全吸收系统冲击。arg = 0/1 = 0，无论 M = +5 与否，conditional_pd = 0.5。
Case 18 · boundary: R=0 with M=-5 maximum systematic shock has no effect
输入: [0,0,-5]
期望: 0.5
R=0 与 M=+5 情形的镜像；conditional_pd = 0.5。
Case 19 · boundary: R=0.99 huge correlation, M=0 still gives 0.5
输入: [0,0.99,0]
期望: 0.5
R 非常大但 M = 0。arg = 0/sqrt(0.01) = 0，Phi(0) = 0.5。